除主对角线上元素外其余元素都是0的n阶方阵。 是方阵，否则没有“主对角线”的一说。
矩阵的特征值与特征向量
相似矩阵
一、相似矩阵
定义3：设 、 为 阶矩阵，若存在 阶可逆矩阵 ，使得： 。则称矩阵 与 相似，或者说 是 的相似矩阵。记作： 。可逆矩阵 称为相似变换矩阵。对 进行运算 ，称为对 进行相似变换。
矩阵的相似关系满足等价关系的三个性质：
即对 阶矩阵 、 、 有：1）反身性：
2）对称性：若 ，则
3）传递性：若 ， ，则
证3）
（因为 ， ， 和 可逆，所以 可逆。
。）
相似矩阵还有以下重要性质：
性质1：对于 阶矩阵 与 ，若 ，则 。
性质2：对于 阶矩阵 与 ，若 ，则 。
性质3：对于 阶矩阵 与 ，若 ，且 可逆，则 可逆，且 。
证：由性质1，若 可逆，则 可逆。 ，所以 。
性质4：若 是 次多项式， 与 是 阶矩阵。
若 ，则 。
证：因为 ，存在可逆矩阵 ，使 。因为对任意的正整数 ，有：
。
设 ，
则
，所以 。
由性质4可给出许多常用的结果。如设 、 为 阶矩阵，若 ，则 ， ，
（其中 为非负整数）。
定理2：相似矩阵有相同的矩阵多项式和完全相同的特征值。
证明：设 、 为 阶矩阵，且 ，则存在可逆矩阵 ，使 。
所以 与 的特征多项式相同，进而特征值相同。
说明：定理2的逆命题不成立。即有相同特征多项式的两个 阶矩阵不一定相似。
比如： ， ，它所有相同的特征多项式： 都有二重特征值， 。
但 与 不相似。从下列可知，与 相似的只能是 本身。
例1：与 阶单位矩阵 相似的只有 本身。
与 阶数量矩阵 相似的只有 本身。
证明：假设 ，则存在可逆矩阵 ，使 ， 。
假设 ，则存在可逆矩阵 ，使 ， 。
二、矩阵的对角化
定义4：若 阶矩阵 ，则称 可以对角化。
（ -对角阵）
若一个矩阵可以对角化，就能把许多复杂的解变为简单。现在的解是：
1） 什么样的矩阵 可以对角化？
2） 若 阶矩阵 可以对角化，相似变换矩阵 怎么求？对角阵 怎么求？见以下
定理3： 阶矩阵 可以对角化 具有 个线性无关的特征向量。
证明：必要性：设 阶矩阵 ，其中 。则存在可逆矩阵 ，
使得 ， 。设矩阵 的列向量分别是： 。上式可分为：
。
即： 。于是 。
说明相似变换矩阵 的列向量 恰好是矩阵 的分别属于特征值 的特征向量。 矩阵 可逆， 它的列向量 线性无关。
所以矩阵 有 个线性无关的特征向量。
充分性：若矩阵 有 个线性无关的特征向量 ，假设它们对应的特征值分别为 。有：
。 线性无关 是可逆矩阵。记 。则 ， 即 可以对角化。
定理4： 阶矩阵 的属于不同特征值的特征向量线形无关。
证明：设 阶矩阵 的 个特征值 互不相等。
分别属于 的特征向量为 。假设有 个数 ，使得： （5）
用这种方法再依次用 左乘（5）式两边得：
即
（6）式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式。 互不相同， 该行列式的值不等于0。 （6）式左端第二个矩阵可逆。用逆矩阵右乘（6）两边，得到： 。
于是 ，由于 是非零向量。只有 ， 线性无关。
推论：若 阶矩阵 有 个互不相同的特征值，则 可以对角化。
例如： 是下三角矩阵，其特征值为1，2，3。它们互不相等。所以 不可对角化。
注：推论的逆命题不成立。即可以对角化的 阶矩阵 不一定有 个互不相等的特征值。
例1如： 存在可逆矩阵 ， 使得
。
说明 可以对角化，但 没有三个互不相等的特征值。
例2：设 。试说明 不可以对角化,求相似变换矩阵 ，使 。
解:矩阵 的特征方程为：
解得
它们互不相等， 不可以对角化。
对应于 时，解齐次方程组： 即：
特征向量
对应于 时，解齐次方程组： 即：
特征向量
对应于 时，解齐次方程组： 即：
特征向量
则相似变换矩阵 ，使得
注
1) 由于矩阵 的属于特征值 的特征向量不唯一，所以相似变换矩阵 也不唯一。
2) 由特征值作成对角阵 ，和对应的特征向量排成的相似变换矩阵 ，只要符合对应原则就行。
3) 在矩阵 的特征值互不相等时， 一定可以对角化。
在矩阵 有重特征值时，若 有 个线性无关的特征向量，则 可以对角化。
在矩阵 有重特征值时，若 没有 个线性无关的特征向量，则 不可以对角化。
但对于实对称矩阵，不论它是否有重特征值必定可以对角化，而且还可以找到正交矩阵作伪相似变换矩阵。
。
答：矩阵除了对角元素外，其他都为0详情>>
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