只要证明：X^5-5X+12=0有根式解，即X^5-5X+12 的伽罗瓦群为可解群。
五次方程(a^2+1。2a+1)X^5=aX+0。2a+1有根式解的证明
一、双曲函数李氏公式：
sh(5A)+ch(5B)
=16(shA+chB)^5
-20[sh(A+2B)+ch(2A-B)](shA+chB)^2
+5[3-4ch(A+2B)sh(2A-B)](shA+chB)
+10[sh(A+2B)-ch(2A-B)]
二、建立方程组：
令shA+chB=kx，A+2B=α，2A-B=β，∴A=(α+2β)/5，B=(2α-β)/5
代入李氏公式中得：
16(kx)^5=20(shα+chβ)(kx)^2+5(-3+4chαshβ)(kx)+10(chβ-shα)+sh(α+2β)+ch(2α-β)
与原方程(a^2+1。
2a+1)X^5=aX+0。2a+1进行恒等，即得方程组：
① shα+chβ=0
② -3+4chαshβ=(3。2ak^4)/(a^2+1。2a+1)=p
③ 10(chβ-shα)+sh(α+2β)+ch(2α-β)=(3。
2ak^5+16k^5)/(a^2+1。2a+1)=q
进一步简化得
① chβ=-shα
② 4chαshβ=p+3
③ sh(α+2β)+ch(2α-β)=q+20shα
三、将方程组消元化简：
将方程②积化和差得： 2sh(α+β))=2ch(α-β)+p+3
与方程①相乘，并积化和差得：sh(α+2β)+ch(2α-β)=-(p+5)shα
与方程③相减得： shα=-q/(p+25) ∴chβ=q/(p+25)
代入方程②中得“化简方程”：(p^2+6p+25)(p+25)^4=16q^4
四、求出根式解，得出证明：
由p、q含k的代数式消去k得：(q^4)/(p^5)=5(a^2+1。
2a+1)[(p+25)^4]/(16a^5)
结合“化简方程”消去q得求p的方程：
(a^5)(p^2+6p+25)(p+25)^4=5(p^5)(a^2+1。2a+1)(a+5)^4
采用试根法，p=5a正好是此方程的一个解。
进而求出q、k、shα、chβ和原方程的根式解。得证
参考资料： ^2+1。2a+1)X^5=aX+0。2a+1有根式解的证明。
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