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已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点

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已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点

已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点,以p为圆心的圆被y轴截得的弦长为2,试证此圆过定点

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  • 2011-02-25 07:23:19
    设P(t^2,2t),则P到y轴的距离d=t^2,圆的半径r满足
    r^2=d^2+1,
    ∴圆的方程为(x-t^2)^2+(y-2t)^2=t^4+1.
    取t=0,1得
    x^2+y^2=1,①
    (x-1)^2+(y-2)^2=2.②
    ①-②,2x+4y=4,x=2-2y,③
    代入①,整理得
    5y^2-8y+3=0,y1=1,y2=3/5,
    分别代入③,x1=0,x2=4/5.
    但是圆不恒过点(0,1)或(4/5,3/5),命题不成立。
    

    l***

    2011-02-25 07:23:19

其他答案

    2011-02-25 13:01:19
  • 设P(t^2,2t),则P到y轴的距离d=t^2,圆的半径r满足 
    r^2=d^2+1, 
    ∴圆的方程为(x-t^2)^2+(y-2t)^2=t^4+1. 
    展开得,(x^2+y^2-1)-2t^2*(x-2)-4ty=0
    当x-2=0且y=0时,方程与t无关,可是x^2+y^2-1不为0,即不过定点!
    修改如下:
    已知点p为抛物线y^2=4x上任意一点,以p为圆心的圆被y轴截得的弦长为4,试证此圆过定点。
    设P(t^2,2t),则P到y轴的距离d=t^2,圆的半径r满足 
    r^2=d^2+4, 
    ∴圆的方程为(x-t^2)^2+(y-2t)^2=t^4+4. 
    展开得,(x^2+y^2-4)-2t^2*(x-2)-4ty=0
    当x-2=0且y=0时,方程与t无关,此时x^2+y^2-4=0,
    即此圆过定点(2,0)!
    

    t***

    2011-02-25 13:01:19

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