∵点P到x轴,y轴的距离之比为2。
∴|y|/|x| = 2
从而y^2 = 4*x^2
m =(1/2){√[(x+1)^2 +y^2] -√[(x-1)^2 +y^2]}
=(1/2){√[(x+1)^2 +4x^2] -√[(x-1)^2 +4x^2]}
=(1/2){√ [5x^2 +2x +1] -√[5x^2 -2x +1]}
dm/dx=(1/2){(5x+1)/√[5x^2+2x+1] -(5x-1)/√[5x^2-2x+1]}
由于dm/dx =0在(0,+∞)上无解
所以函数
m=(1/2){√ [5x^2 +2x +1] -√[5x^2 -2x +1]}
在(0,+∞)上是增函数
m=(2x)/[√(5x^2 +2x +1) +√(5x^2 -2x +1)]
=2/[√(5 +2/x +1/x^2) +√(5 -2/x +1/x^2)]
(x→+∞)limm =√5 /5
m∈(-√5 /5 ,0)∪(0,√5 /5)
【探讨】
令y =kx，(k∈R)
那么(x→+∞)limm =1/√(1 +k^2)
从而m∈(-1/√(1 +k^2) ,0)∪(0 ,1/√(1 +k^2))
【在ZZY先生的解答基础上改进】
点P(x,y)在双曲线(1)上,
x^2/[m^2] -y^2/[1 -m^2] =1-----------(1)
点P(x,y)也在相交直线(2)上,
y = ±2x,(x≠0)----------------------(2)
若(1)与(2)相交,则m值就存在,
随着(1)与(2)的交点越来越远离原点,
|m|似乎从0开始,变的越来越大
为寻求m值的临界点,我们考察(2)是(1)的渐近线情况。
此时(1 -m^2)/m^2 =(±2)^2
显然m =±√5 /5
从而m取值范围是
(-√5 /5 ,0)∪(0,√5 /5)
如果忽略x是否不等于0,那么m取值范围也可以是
(-√5 /5 ,√5 /5)
。
