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线性方程组证明题,书P106,33

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线性方程组证明题,书P106,33

设线性方程组
x1+a1x2+(a1^2)x3=a1^3
x1+a2x2+(a2^2)x3=a2^3
x1+a3x2+(a3^2)x3=a3^3
x1+a4x2+(a4^2)x3=a4^3
(1)证明若a1,a2,a3,a4两两不相等,则此方程组无解;
(2)设a1=a3=-a2=-a4≠0,且已知d1=(-1,1,1)^T,d2=(1,1,-1)^T是该方程组的2个特解,求此方程组的一般解(或通解)。
谢谢~!

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好评回答
  • 2008-12-24 08:11:42
    (1)此线性方程组的系数矩阵的秩不超过3,但其增广矩阵的行列式是著名的范德蒙行列式,当a1,a2,a3,a4两两不相等时,其值非0,即增广矩阵的秩为4,于是方程组无解!
    (2)易知,在a1=a3=-a2=-a4≠0时,此线性方程组的系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1,所以其解空间为二维空间,已知d1=(-1,1,1)^T,d2=(1,1,-1)^T是该方程组的2个特解,两个向量线性无关,所以此方程组的一般通解为X=λdi+μd2

    b***

    2008-12-24 08:11:42

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