三角形几何题在圆内接四边形ABCD中，H1,H2,H3,H4分别爱问知识人

三角形几何

题 在圆内接四边形ABCD中，H1,H2,H3,H4分别是ΔABC，ΔBCD，ΔCDA，ΔDAB的垂心。
求证 四垂心H1,H2,H3,H4共圆.

梦***

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题 在圆内接四边形ABCD中，H1,H2,H3,H4分别是ΔABC，ΔBCD，ΔCDA，ΔDAB的垂心。 
求证 四垂心H1,H2,H3,H4共圆. 
证明 过圆ABCD的圆心O作CD的垂线，垂足为M，则
AH3=BH2=2OM。
显然AH3∥BH2。
故ABH2H3是平行四边形。
从而AH2与BH3互相平分。
同理：
BH3与CH4互相平分;CH4与DH1互相平分，DH1与AH2互相平分。
所以AH2,BH3,CH4,DH1四线共点,
公共点Q。Q点是四线段的共同中点。
于是作中心反射变换ABCD→(P)→H2H3H4H1.
因而四垂心H1,H2,H3,H4在同一圆上。

m***

2008-11-17 15:47:18

56 6 评论

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在圆内接四边形ABCD中，H1,H2,H3,H4分别是ΔABC，ΔBCD，ΔCDA，ΔDAB的垂心。 
从四垂心H1,H2,H3,H4分别向AB,BC,CD,DA做垂线,垂足分别是M,N,P,Q.则∠A+∠MH4Q=180°.∠C+∠NH2P=180°.∵∠A+∠C=180°.
∴∠NH2P+∠MH4Q=180°.
∴四垂心H1,H2,H3,H4共圆.

铁***

2008-11-17 09:29:05

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