差分方程又称递推关系式，是含有未知函数及其差分，但不含有导数的方程。满足该方程的函数称为差分方程的解。差分方程是微分方程的离散化 在数学上，递推关系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目是定义为前一项的函数。
某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的（混沌的）性质，他们属于数学中的非线性分析领域。 所谓解一个递推关系式，也就是求其解析解，即关于n的非递归函数。 例1 Xn={n3},求各阶差分数列： xn △xn △2xn △3xn △4xn 1 7 12 6 0 8 19 18 6 0 27 37 24 6 0 64 61 30 6 125 91 36 216 127 343 可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。
练习1 对{1}，{n},{n2},{n4},{n5},分别求各阶差分数列。 练习2 {C0n-1}{C1n-1}{C2n-1},{C4n-1},分别求各阶差分数列。 {Xn}的通项为n的三次函数， Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0 证明它为常数数列。
证明 由Xn=a3n3+a2n2+a1n+a0可直接计算。 定理8。1 若数列的通项是关于n 的k次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。 如果有用的话，给个好评吧O(∩_∩)O~。
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