线性代数问题
设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A^nX=0,(2)A^(n+1)X=0,必有 A.(2)的解是(1)的解，(1)的解也是(2)的解 B.(1)的解是(2)的解，但(2)的解不是(1)的解 C.(2)的解是(1)的解，但(1)的解不是(2)的解 D.(1)的解不是(2)的解，(2)的解也不是(1)的解 主要问题是A^(n+1)X=0的解是不是A^nX=0的解？
选A. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A^nX=0,(2)A^(n+1)X=0,必有:(1)的解也是(2)的解,这是因为 A^(n+1)X= A(A^n * X) 反之，(2)的解是(1)的解，若不然，设A^(n+1)X1=0，但A^nX1≠0，则n+1个n元向量A^nX1，A^（n-1）X1，...，AX1,X1必线性无关.这是因为若knA^nX1+...+k1AX1+k0X1=0,依次用A^n,A^(n-1),...,A乘其两端可得k0=k1=...=kn=0.注意到任意n+1个向量n元向量必线性相关，从而出现矛盾，假设不成立。所以(2)的解是(1)的解。
B,注意到A^(n+1)=A*(A^n)
B.(1)的解是(2)的解 因为假设X1是(1)的解，那么A^n * X1=0,==> A(A^n * X1)=A*0 ==> A^(n+1)X1=0. 所以X1也是(2)的解； 但是，反之一般是不成立，当然如果A是可逆的话，是成立的，此时(1)和(2)的解都是X=0；下面看一个反例，当A不可逆的时候： 非常感谢@别问我是谁老师的指正，我偷了下懒没有计算那个基础解系，闹笑话了： 两个的解都是 a=-2c=-4b. 抱歉啊，楼主！
答：R(AB)是m阶方阵, R(AB)≤min{R(A),R(B)}≤min{n,m}=n 方阵AB不可逆 ==> (AB)x=0有非零解.详情>>
答：详情>>
