若函数f(x)是定义R上的偶函数
若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-无穷,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得 xf(x)<0
解:显然当x=0时,xf(x)=0。 由题意得 f(-2)=f(2)=0. 即当x=2或-2时,xf(x)=0。 由f(x)在(-∞,0)单调递减得: 当xf(-2)=0,此时xf(x)0。 由题意得对任意x均有f(-x)=f(x),因此 当02时,-x0,因此xf(x)>0。 综上所述,满足xf(x)<0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(0,2)。
若函数f(x)偶函数,在(-∞,0)上是递减, 则在(0,+∞)上递增。 设g(x)=xf(x),在(0,+∞)内递增 g(-x)=(-x)f(-x)=-xf(x)=-g(x),g(x)是奇函数, 在(-∞,0)内递增。 f(2)=0,f(-2)=f(2)=0,则g(2)=g(-2)=0 在(-∞,0)内,g(x)<0=g(-2),x<-2; 在(0,+∞)内,g(x)<0=g(2),0
若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-无穷,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得 xf(x)<0 f(x)为偶函数,在(-∞,0)上为减函数,其f(2)=0 那么,根据偶函数关于y轴对称知:f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(-2)=0 那么: 当x∈(-∞,-2)和(2,+∞)时,f(x)>0 当x∈(-2,2)时,f(x)<0 由xf(x)<0得到: ①x<0,且f(x)>0 所以:x∈(-∞,-2) ②x>0,且f(x)<0 所以,x∈(0,2) 综上,满足xf(x)<0的解集是:x∈(-∞,-2)∪(0,2)
答:设F(x)=f(x)+g(x), 如果f(x)与g(x)都是偶函数,则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x) ∴F(x)是偶函数; ...详情>>
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