（1）证明当0＜x＜1时
（1）证明当0＜x＜1时，sinπ2x＞x；（2）设x0∈（0，1），xn 1=sinπ2xn，证明{xn}收敛，并求其极限（1）证明当0＜x＜1时，sinπ2x＞x；
（2）设x0∈（0，1），xn 1=sinπ2xn，证明{xn}收敛，并求其极限．
（1）令F（x）=sinπx2?x（0≤x≤1），则F（0）=F（1）=0．
因为?x∈（0，1），
F′（x）=π2cosπx2?1，
F″（x）=?π24sinπx2＜0，
所以F（x）在[0，1]上为严格凸函数．
由上凸函数的定义，?x∈（0，1），
F（x）=F（（1-x）?0 x?1）＜（1-x）?F（0） x?F（1）=0，
即：当0＜x＜1时，sinπx2＞x．
（2）当0＜x＜1时，sinπx2＞x，
所以xn 1=sinπ2xn＞xn，
从而{xn}为单调递增序列．
又因为x0∈（0，1），
所以xn 1=sinπ2xn＜sinπ2=1，
从而，0＜x1≤xn＜xn 1＜1，①
即：数列{xn}{xn}为单调有界数列，从而收敛．
设limn→∞xn＝X．
因为xn 1=sinπ2xn，
令n→∞可得，
X=sinπX2，
故X=0或1．
注意到①，由极限的保序性可得，
0＜x1≤X≤1，
所以X=1，
即：limn→∞xn＝1．。
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