绵阳市高2012级第三次诊断性考试
数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
BCDBA CACAB AD
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．( ) 14．±2 15．arccos 16．①④
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（I）由m//n，可得3sinx=-cosx，于是tanx= ．
∴ ． …………………………4分
（II）∵在△ABC中，A B= -C，于是 ，
由正弦定理知： ，
∴ ，可解得 ． ………………………………………………6分
又△ABC为锐角三角形，于是 ，
∵ =(m n)•n
=(sinx cosx，2)•(sinx，-1)
=sin2x sinxcosx-2
=
= ，
∴ ．……………………10分
由 得 ，
∴ 0g(1)=2，与题意矛盾．
∴ 00，
整理得：4k2>m2-3．①
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
设MN的中点P(x0，y0)，则
，…………………7分
i)当k=0时，由题知， ．……………………………8分
ii)当k≠0时，直线l方程为 ，
由P(x0，y0)在直线l上，得 ，得2m=3 4k2．②
把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得00，解得 ．
∴ ．
验证：当(-2，0)在y=kx m上时，得m=2k代入②得4k2-4k 3=0，k无解．
即y=kx m不会过椭圆左顶点。
同理可验证y=kx m不过右顶点．
∴ m的取值范围为( )．………………………………………………11分
综上，当k=0时，m的取值范围为 ；
当k≠0时，m的取值范围为( )．……………………………12分
22．解：（I）由题意，得 （n∈N*）．
于是 ，
两式相减，得 ，
即an 1 an=(an 1 an)(an 1-an)，
由题，an>0，an 1 an≠0，
得an 1-an=1，即{an}为公差为1的等差数列．
又由 ，得a1=1或a1=0（舍去）．
∴ an=1 (n-1)•1=n (n∈N*)．……………………………………………5分
（II）证法一：由（I）知 ，于是 ，
于是当n≥2时，
=
=
=
=
=n(Tn-1)。
………………………………………………………………10分
法二：①当n=2时，R1=T1= =1，2(T2-1)=2( =1，
∴ n=2时，等式成立．
②假设n=k（k≥2）时，等式成立，即 ，
当n=k 1时，
=
=
=
=
=
= ．
∴ 当n=k 1时，等式也成立．
综合①②知，原等式对n≥2，n∈N*均成立． …………………………10分
（III）由（I）知， ．
由分析法易知， ，
当k≥2时，
，
∴
．
即 ． ………………………………………14分。
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