1. f'(x) = 1-1/(x+1)=0 可解得x=0; x>0 时f'(x)>0 是增函数，x0 时f(x)>0 因此f(1/n) = 1/n- ln(1+1/n) = 1/n -ln((n+1)/n)>0; 对所有的n =1,2,....上式求和可得： （1-ln(2/1)+(1/2 -ln(3/2)+....(1/n -ln((n+1)/n))>0; 即：1+1/2+1/3+..... 1/n> ln(2/1)+ln(3/2)+ ...+ln((n+1)/n) = ln(n+1) 即证。
(1)f(x)=lnx-x+1(x>0)，f'(x)=1/x-1=(1-x)/x>0，则00)。 即ln(1+x)=-1)。取x=1、x=1/2、…、x=1/n。 ln(1+1)=ln(2/1)ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]=ln[2*(3/2)*(4/3)*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
1.证明:f(x)的定义域是(-1,+∞)。求导得 f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1). 因此当x=0时f'(x)=0;当-10时f'(x)>0。 从而f(x)在(-1,0]上严格递增,在[0,+∞)上严格递减。 综上所述,f(x)的最小值是f(0)=0。 2.证明:当n=1时,左边=1>ln2=右边。 假设当n=k时原不等式成立,即 1+1/2+1/3+......+1/k>ln(k+1) ① 由f(x)的单调性得当x>-1且x≠0时,f'(x)>0恒成立。因此 1/(k+1)-ln(1+1/(k+1))=f(1/(k+1))>0 ② 将不等式①和②相加得 1+1/2+1/3+......+1/(k+1)>ln(k+2) ① 即当n=k+1时原不等式成立。 综上所述,对任意正整数n,原不等式成立。
问：已知f（x)=x-ln（1 x）,求函数f(x)的单调增减区间、极值与极值点
答：f(x)=x-ln(1 x)，定义域为x>-1 。 f'(x)=1-1/(1 x)=x/(1 x)，故x=0为极小值点，fmin=f(0)=0。所以，在（-1，...详情>>
答：详情>>
