高中数学题目
已知椭圆C的两个焦点为F1(-根号3,,0),F2(根号3,0), (1)当直线L过点F1与椭圆C交M,N两点,且当三角形MF2N的周长为8时,求椭圆C的周长; (2)在(1)的条件下,过P(0,2)的直线m与椭圆C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求直线m的方程； （3）在（1）与（2）的条件下，椭圆C上是否存在两点E，F关于直线m对称？如对称，求出方程，如不存在请说明理由。
⑴ 设C为x^2/a2+y^2/b2=1(a>b>0)， 由椭圆定义知， |MF1|+|MF2|=2a，|NF1|+|NF2|=2a， 故(|MF|+|NF1|)+(|MF2|+|NF2|)=4a， 即4a=8→a=2。 又c=√3，于是b^2=1， 故C为x^2/4+y^2=1。
⑵ 设m为y=kx+2(k≠0)， 且m、C交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)， 以m代入C整理得， (1+4k^2)x^2+16kx+12=0 ① 其判别式△=(16k)^2-4×12(1+4k^2)>0， ∴k>√3/2或k<-√3/2 ② ∵以AB为直径的圆过原点，故OA⊥OB， 于是，x1x2+y1y2=0， 即x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0 →(1+k^2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0， 由①及韦达定理，得 [12(1+k^2)/(1+4k^2)]+[2k(-16k)/(1+4k^2)]+4=0 →k=±2 故m为：y=±2x+2。
⑶ 假设C上存在两点E(x3，y3)、F(x4，y4)关于 y=2x+2对称， 且线段EF中点为H(x0，y0)，则 {x3+x4=2x0 {y3+y4=2y0 {x3^2+4y3^2=4 {x4^2+4y4^2=4 {x3≠x4 故易得， (y3-y4)/(x1-x4)=-x0/(4y0) 又，[(y3-y4)/(x3-x4)]·(±2)=-1， ∴-x0/(4y0)=±1/2 →x0=±2y0 ③ 而点H(x0，y0)在y=±2x+2上， ∴y0=±2x0+2 ④ 由③、④解得， x0=-4/3，y0=-2/3；或x0=4/3，y0=2/3。
∵x0^2/4+y0^2=16/9×1/4+4/9<1， ∴点H在C内，即C上存在两点E、F关于 y=±2x+2的对称， 此时，EF为：y=±(1/2)x-4/3， 。
1.a=2 c=3^(1/2) b=1 方程为 x^2/2+y^2=1
2.设m的方成为 Y=kX+2 代入椭圆方程中
4（kX+2）^2+X^2=4 即 (4k^2+1)X^2+16kx+12=0
设A（a，b），B（m，n）
根据韦达定理 a+m=-16k/(4k^2+1) a*m=12/(4k^2+1) (1)
AB为直径 所以角AOB=90 所以 Kao*Kbo=-1(Kao表示直线AO的斜率，后亦同)
Kao=b/a Kbo=n/m 则有ma+bn=0 分别以它们所在的直线代入，有
(k^2++1)ma+2k(m+a)+4=0 (2)
由（1）（2）可解得 k=2或-2
(1) △MF2N的周长=MN+MF2+NF2=(MF1+NF1)+MF2+NF2 =(MF1+MF2)+(NF1+NF2) =2a+2a =4a 所以，4a=8 则，a=2 已知，c=√3 所以，b^2=a^2-c^2=1 所以，椭圆方程为：x^2/4+y^2=1。
(2) 设过点P(0,2)的直线斜率为k，则：y=kx+2 联立直线与椭圆x^2+4y^2-4=0得到： x^2+4(kx+2)^2-4=0 ===> x^2+4k^2*x^2+16kx+12=0 ===> (4k^2+1)x^2+16kx+12=0 ===> x1+x2=-16k/(4k^2+1)，x1x2=12/(4k^2+1) 所以，y1*y2=(kx1+2)*(kx2+2)=k^2*x1x2+2k(x1+x2)+4 =12k^2/(4k^2+1)-32k^2/(4k^2+1)+4 =(12k^2-32k^2+16k^2+4)/(4k^2+1) =(-4k^2+4)/(4k^2+1) 已知以AB为直径的圆经过原点，则∠AOB=90° 即，AO⊥BO 所以，Kao*Kbo=-1 ===> (y1/x1)*(y2/x2)=-1 ===> y1y2=-x1x2 ===> (-4k^2+4)/(4k^2+1)=-12/(4k^2+1) ===> -4k^2+4=-12 ===> 4k^2=16 ===> k=±2 所以，直线m的方程为：y=±2x+2。
（3）直线m的方程已经确定，还求什么方程呀？！。
答：由题知,椭圆通径=1,即2b~2/a=1,即2b~2=a 因为c=根号3,所以c~2=3 所以2b~2=a可两边平方,即为4b~4=a~2 因为a~2=b~2+...详情>>
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