(1) 如下图所示,作MP⊥AB于P, 则 MP∥BC.∵ 面BD⊥面AE, ∴ MP⊥面AE,MP⊥PN. ∵ BN/BF=CM/CA=BP/BA, ∴ PN∥BE, ∴ PN⊥AB, ∴ AB⊥面MNP, ∴ AB⊥MN . (2) 设MP=x,则x/1=(√2-a)/√2,x=1-(a/√2).NP/1=a/√2. MN²=MP²+PN²=[a-(√2/2)]²+1/2, ∴ a=√2/2时,MN有最小值√2/2. (3) MN最小时,M,P分别是AC,AB的中点.MP=PN,△MNP是等腰Rt△.∠MNP是MN与面AE所成角,为45°.
沿M在平面ABCD作直线垂直于AB，与直线AB交于Ｇ，与ＣＤ交于Ｈ，连接ＮＧ。 （１） 因为ＣＭ等于ＢＮ，用边角边判定定理不能证明三角形ＣＨＭ和ＢＧＮ全等，所以ＮＧ垂直于ＢＧ，因为ＢＧ也垂直于ＭＧ，所以ＢＧ垂直于ＭＧＮ平面，所以ＡＢ垂直于ＭＮ。 （２） ＧＮ＝ＨＭ＝a/√2, MG=1-a/√2，易知ＧＮ垂直与ＧＭ，所以ＭＮ＝sqrt(GN^2+GM^2) = sqrt((a-1/√2)^2+1/2)>=sqrt(1/2)＝√2/2, 当a=1/√2时等号成立。 （３）易知ＭＧ垂直于ＡＢＥＦ，所以直线ＭＮ和ＡＢＥＦ的夹角就是角ＭＮＧ。由（2),MG=NG=1/2, 夹角为45度。
答：作MP⊥AB于P，连结PN， 可证PN⊥AB，则∠MPN=120°. 设AM=AN=x，于是MP/1=AM/√2→MP=x/√2. 同理可得，PN=(√2-x)...详情>>
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