1、正弦函数的幂级数展开式：
sinZ=ZΣ(n=0～∞){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}=Zf(Z)
注：
(1)Z为所有复数时，该级数都收敛，
(2)f(Z)的所有零点为c(n)=nπ(n=±1、±2、……±∞)
2、设f(Z,m)=Σ(n=0～m){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}，
f(Z,m)的所有零点为c(n,m)(n=±1、±2、……±m)
3、由代数基本定理得：
若b(n)(n=1～M)是g(Z,M)=1+Σ(n=1～M)[a(n)*Z^n]的所有零点，
则g(Z,M)=Π(n=1～M)[1-Z/b(n)]
故f(Z,m)=Π(n=1～m)[1-Z²/c²(n,m)]
4、取m→∞得：
c(n,m)→c(n)
f(Z,m)→f(Z)
即sinZ=ZΠ(n=1～∞)[1-Z²/(nπ)²]
令Z=xπ得：
sin(πx)=(πx)∏(n=1～∞)(1-x²/n²)。
。
修改了，写了主要过程，见附件！！
在现在提出这种问题近乎不可能解决，是因为初等数学对付无穷严密性不够，当然我们可以仿照欧拉的思路 但是得承认一个结果，那就是 sin(πx)=∑(πx)^(2n-1)/(2n-1)!，这个结论欧拉也是先承认的 然后当n=1,2,3,…,是它的无穷多个根（值取0），把sin(πx)看作此无穷多项式的常数项，再有推广的韦达定理和关于阶乘的一些结论，方可带有漏洞的推出，我想还是不必要掌握的！不知楼主一下如何？
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