简证 根据三角形恒等式: (4ma*mb*mc)^2= s^6-12Rrs^4+33r^2*s^4-r^2*(60R^2+120Rr+33r^2)s^2-r^3*(4R+r)^3 所证不等式左边等价于 4R^2*s^4≥s^6-12Rrs^4+33r^2*s^4 -r^2*(60R^2+120Rr+33r^2)s^2-r^3*(4R+r)^3。
-s^6+(4R^2+12Rr-33r^2)s^4+r^2*(60R^2+120Rr+33r^2)s^2 +r^3*(4R+r)^3≥0 s^2*[-s^4+(4R^2+20Rr-2r^2)s^2-r(4R+r)^3] +r(8R+31r)*(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+r^3*(4R+r)[(4R+r)^2-3s^2] +4r^3*(R-2r)*(8R^2+4Rr+7r^2)≥0 ∵-s^4+(4R^2+20Rr-2r^2)s^2-r(4R+r)^3≥0; 4R^2+4Rr+3r^2≥s^2; (4R+r)^2≥3s^2; R≥2r。
∴上式成立。 所证不等式右边等价于 s^6-12Rrs^4+33r^2*s^4-r^2*(60R^2+120Rr+33r^2)s^2 -r^3*(4R+r)^3≥16r^2*s^4。 [s^4+4r(R+3r)s^2+r^2*(4R^2+52Rr-93r^2)]*(s^2-16Rr+5r^2) +4r^4*(191R+58r)*(R-2r)≥0 ∵s^2-16Rr+5r^2≥0,R≥2r。
∴上式成立。 。
答：设s,R,r分别为三角形ABC的半周长，外接圆与内切圆半径，当max(A,B,C)=<120度.求证 s^2>=R^2+10Rr+3r^2 见附件 设a,b,c...详情>>
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