一个不等式问题
在三角形ABC中,记三边长为a,b,c,R,r表示三角形ABC的外接圆和内切圆半径.求证 abc/√[2(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2)]≥r/2R
在三角形ABC中,记三边长为a,b,c,R,r表示三角形ABC的外接圆和内切圆半径。求证 abc/√[2(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2)]≥r/2R 证明 所证不等式等价于 4R^2*(abc)^2≥≥2r^2*(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2) 由已知恒等式得 (b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2) =∑a^2*∑(bc)^2-(abc)^2 =2[s^6-r(12R-r)s^4+r^2*(40R^2+8Rr-r^2)s^2-r^3*(4R+r)^3] abc=4Rrs。
-s^6+r(12R-r)s^4+(16R^4-40R^2*r^2+8Rr^3-r^4)s^2+r^3*(4R+r)^3≥0 (s^2+4R^2+8Rr-r^2)*[-s^4+(4R^2+20Rr-2r^2)s^2-r(4R+r)^3] +4rs^2(R-2r)*(4R^2+Rr+2r^2) +4r(R+2r)(4R+r)*[R(4R+r)^2-2(2R-r)s^2]≥0 ∵ -s^4+(4R^2+20Rr-2r^2)s^2-r(4R+r)^3≥0, R(4R+r)^2-2(2R-r)s^2≥0, R-2r≥0 ∴上式成立。
0。5r（a＋b＋c）=0。
25abc/R r/2R =abc/4（a＋b＋c）R^2 即证4（a＋b＋c）R^2≥√[2(b^2+c^2)*(c^2+a^2)*(a^2+b^2)] 即证sinA＋sinB＋sinC≥√[2(sinB ^2+ sinC ^2)*( sinC ^2+sinA^2)*( sinA^2+ sinB ^2)] sinA＋sinB＋sinC=4(cosA/2) (cosB/2) (cosC/2) 三角形ABC为锐角三角形时 sinB ^2+ sinC ^2=1＋cosAcos（B－C）≦1＋cosA=2(cosA/2)^2 sinC ^2+sinA^2≦ 2(cosB/2)^2 sinA^2+ sinB ^2≦ 2(cosC/2)^2 sinA＋sinB＋sinC≥√[2(sinB ^2+ sinC ^2)*( sinC ^2+sinA^2)*( sinA^2+ sinB ^2)] 。
答：下面给出一个推广.首先给出一个引理. 引理 设P是△ABC平面上任一点，R,r分别△ABC的外接圆与内切圆半径.则 (PA+PB+PC)^2≥4r(4R+r) ...详情>>
