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在各项均为正数的数列【an}中,其前n项和为sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于sn与2的等比中项,求an

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  • 2009-03-08 21:43:16
    依题意(an+2)/2=√(2Sn)
    --->(an+2)^2=8Sn,[a(n-1)+2]^2=8S(n-1)
    Sn-S(n-1)=an--->(an+2)^2-[a(n-1)+2]^2=8an
    --->(an)^2-[a(n-1)]^2+4an-4a(n-1)=8an
    --->(an)^2-[a(n-1)]^2-4an-4a(n-1)=0
    --->[an+a(n-1)]*[an-a(n-1)-4]=0
    an,a(n-1)>0--->an-a(n-1)=4
    所以数列{an}是等差数列,公差d=4
    又S1=a1,所以(a1+2)/2=√(2a1)
    --->(a1+2)^2=8a1
    --->(a1)^2-4a1+4=0
    --->(a1-2)^2=0
    --->a1=2
    因此数列的通项公式是an=2+4(n-1)=4n-2.

    y***

    2009-03-08 21:43:16

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