设f(x)在x>0时连续，f(1)=3,且∫xy1f（t）? 爱问知识人

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设f(x)在x0时连续

设f(x)在x>0时连续，f(1)=3,且∫xy  1    f（t）dt=设f(x)在x>0时连续，f(1)=3,且∫xy  1    f（t）dt=x∫y  1    f（t）dt   +y∫x  1    f（t）dt  （x〉0，y〉0），则f(x)=


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却***

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∫(1,xy) f（t）dt=x∫(1,y) f（t）dt +y∫(1,x) f（t）dt .
固定y，两边对x求导，
f(xy)*y=∫(1,y) f（t）dt+yf(x).
x=1--->yf(y)= ∫(1,y) f（t）dt+3y
f(y)连续，所以∫(1,y) f（t）dt可导--->f(y)可导，两边对y求导
f(y)+yf'(y)=f(y)+3
f'(y)=3/y,
f(y)=3ln|y|+C
f(1)=3--->c=3
所以f(x)=3lnx+3 (x>0)

i***

2008-06-22 19:47:17

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