(重复)几何-11
圆与圆有5种关系,相离,外切,相交,内切,相含。三角形有三个圆,即外接圆,内切圆及九点圆。问三角形上述三个圆的关系
圆与圆有5种关系,相离,外切,相交,内切,相含。三角形有三个圆,即外接圆,内切圆及九点圆。问三角形上述三个圆的关系 解:九点圆:三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半,半径为R/2。
外接圆:以三角形的三条中垂线的交点为圆心,这个点到三角形顶点的距离为半径的圆,半径为R。 内切圆:以三角形三个内角的角平分线的交点为圆心,圆心到任意一边的距离相等,半径为r。 设三角形ABC的九点圆心为Q,外接圆心为O,内切圆心为I,三角形ABC半周长为s,则易求得: OQ=[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,OI=√[R(R-2r)],IQ=(R-2r)/2。
根据圆与圆有5种关系,相离,外切,相交,内切,内含。可判断: (1),九点圆与内切圆的两半径差等于R/2-r=IQ=(R-2r)/2,故内切圆I内切于九点圆Q,即两圆内切。 (2),易证 R-r>OI=√[R(R-2r)],r^2>0,所以外接圆内含内切圆,即两圆内含。
(3),外接圆与九点圆,当三角形为锐角时外接圆内含九点圆,R/2>[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,s>2R+r; 当三角形为直角时九点圆内切于外接圆,R/2=[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,s=2R+r;当三角形为纯角时九点圆与外接圆相交,3R/2>[√(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)]/2,s^2>4Rr+r^2。
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答:解:九点圆:三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三...详情>>
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