证明
n是整数,n的5次方-n,证明可被30整除
因为将n^5-n分解因式为: n^5-n =n(n^4-1) =n(n^2+1)(n^2-1) =n(n-1)(n+1)(n^2+1) 因为(n-1)、n、(n+1)是三个连续的整数,其中必定有2的倍数和3的倍数,则必然是6的倍数。 若n=5k+1或n=5k或n=5k+4,其中k是正整数(下同),那么n-1或n或n+1中含因子5,则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 若n=5k+2,则: n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1),是5的倍数,同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。 若n=5k+3,则: n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2),是5的倍数,同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。
证明:(1)当n=0时,显然n^5-n可被30整除。 (2)n为正整数时, n^5-n =n(n^4-1) =(n-1)n(n+1)(n^2+1) 易知(n-1)n(n+1)能被6整除,故n^5-n能被6整除。
记r=n(mod 5),r=0,1,2,3,4。 (n-1)n(n+1)(n^2+1) (mod 5) =(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5) 当r=0,1,4时,(r-1)r(r+1)能被5整除; 当r=2,3时,r^2+1能被5整除。
故(r-1)r(r+1)(r^2+1) (mod 5)=0,所以n^5-n可被30整除。 (3)n为负整数时,记f(n)=n^5-n,则f(n)=-f(-n),由(2)知f(-n) 可被5整除,所以f(n)即n^5-n也可被5整除。
综上所述,n为整数时,n^5-n可被5整除。 。
答:证明:n的5次方-n)=n(n-1)*(n+1)*(n平方+1).当n=1时,为0,被30整除;当n=2时,为2*3*5=30,能被30整除;当n=3,为2*3...详情>>
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