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2008-10-23 07:48:01

•   三角恒等式
  　　三角函数
  　　sinx
  　　cosx
  　　tanx
  　　cotx
  　　secx
  　　cscx
  　　含有与三角形三个内角有关的三角函数的恒等式，叫做三角恒等式
  　　常见的三角恒等式及其证明
  　　设A，B，C是三角形的三个内角
  　　(1)
  　　tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
  　　证明：
  　　tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC 
  　　(2)
  　　cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1
  　　证明：
  　　tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
  　　cotX*tanX=1
  　　tanA*cotAcotBcotC＋tanB*cotAcotBcotC＋tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC*cotAcotBcotC
  　　cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1
  　　(3)
  　　(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
  　　证明：
  　　(cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1
  　　x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0
  　　x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2
  　　x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)]
  　　x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2]
  　　x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2]
  　　x=-cosAcosB+-sinAsinB
  　　x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B)
  　　x=cosC或x=-cos(A-B)
  　　所以
  　　cosC是方程的一个根
  　　所以
  　　(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
  　　(4)
  　　cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
  　　证明：
  　　cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 
  　　cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] 
  　　cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] 
  　　-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] 
  　　-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[cos(B/2-C/2)-cos(B/2+C/2)] 
  　　-cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)-2[cos(B/2+C/2)]^2 
  　　cosB+cosC=2cos(B/2+C/2)cos(B/2-C/2) 
  　　2[cos(B/2+C/2)]^2-1=cos(B+C)
  　　(5)
  　　tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
  　　证明：
  　　A/2+B/2+C/2=π/2
  　　(π/2-A)+(π/2-B)+(π/2-C)=π
  　　cot(π/2-A)cot(π/2-B)+cot(π/2-C)cot(π/2-B)+cot(π/2-A)cot(π/2-C)=1
  　　tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
  　　(6)
  　　sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
  　　证明：
  　　设三角形ABC的外心为O
  　　S△ABO+S△ACO+S△CBO=S△ABC
  　　(1/2)RRsin2C+(1/2)RRsin2B+(1/2)RRsin2A=(1/2)bcsinA=(1/2)2RsinB*2RsinC*sinA
  　　sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
  　　(7) 
  　　sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) 
  　　证明： 
  　　4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) 
  　　=[2cos(C/2)]*[2cos(A/2)cos(B/2)] 
  　　=[2sin(A/2+B/2)]*[cos(A/2+B/2)+cos(A/2-B/2)] 
  　　=2sin(A/2+B/2)cos(A/2+B/2)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2) 
  　　=sin(A+B)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2) 
  　　=sinC+2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] 
  　　=sinC+sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2] 
  　　=sinC+sinA+sinB
  　　三角恒等式的应用
  　　（一）不等式的证明
  　　例一
  　　已知A，B，C是三角形的三个内角
  　　求证cotA＋cotB＋cotC>=√3
  　　cotA＋cotB＋cotC=cotA+cotB-cot(A+B)>cotA+cotB-cot(B)=cotA>0
  　　(cotA＋cotB＋cotC)^2>=3(cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA)=3
  　　所以cotA＋cotB＋cotC>=√3。
    

  全部
  

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  2008-10-23 07:48:01

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