已知sinA+sinB+sinC=0, cosA+cosB+cosC=0，求证 cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=0。 证明：（数形结合方法）不妨设0<=A<=B<=C<=2π, 构造复数z1=cosA+isinA,z2=cosB+isinB,z3=cosC+isinC,则 z1+z2+z3=cosA+cosB+cosC+i(sinA+sinB+sinC)=0, 于是有 z1+z2=-z3,z2+z3-=z1,z3+z1=-z2, 又|z1|=|z2|=|z3|=1, 所以，复数z1,z2,z3的对应点Z1,Z2,Z3是单位圆上的等分点，即有C-B=B-A=120度， 而|cos(A+B)+isin(A+B)|=|cos(B+C)+isin(B+C)|=|cos(C+A)+isin(C+A)|=1， 且(B+C)-(C+A)=(C+A)-(A+B)=120度， 因此，复数cos(A+B)+isin(A+B)，cos(B+C)+isin(B+C)，cos(C+A)+isin(C+A)的对应点也是单位圆上的等分点， 于是，有 z1^2+z2^2+z3^2=(z1+z2+z3)^2-2(z1z2+z2z3+z3z1) =-2(z1z2+z2z3+z3z1) =-2[cos(A+B)+isin(A+B)+cos(B+C)+isin(B+C)+cos(C+A)+isin(C+A)] =0， 而z1^2+z2^2+z3^2=cos2A+isin2A+cos2B+isin2B+cos2C+isin2C =cos2A+cos2B+cos2C+i(sin2A+sin2B+sin2C)， 故 cos2A+cos2B+cos2C+i(sin2A+sin2B+sin2C)=0， 因此 cos2A+cos2B+cos2C=0，sin2A+sin2B+sin2C=0。
。
已知sinA+sinB+sinC=0, cosA+cosB+cosC=0，求证 sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=0。 证明 设D(sinA,cosA), E(sinB,cosB), C(sinC,cosC)是圆方程: x^2+y^2=1上三点，圆心O为(0,0)，它是ΔDEF的外心， 由已知条件 (sinA+sinB+sinC)/3=0; (cosA+cosB+cosC)/3=0。
所以O(0,0)又是ΔDEF的重心，从而知ΔDEF是正三角形。 角A,B,C依次相差2π/3。于是 sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=sin(2A)+sin(2A+4π/3)+sin(2A+8π/3) =sin(2A)+sin(2A-2π/3)+sin(2A+2π/3) =sin(2A)+2sin(2A)*cos(-2π/3) =sin(2A)-sin(2A)=0。
证毕。 。
sinA+sinB=-sinC 。。。（1）, cosA+cosB=-cosC 。。。（2） 2*(1)*(2) ==> sin2A+2sin(A+B)+sin2B=sin2C 。。。(3) 同理：sin2B+2sin(B+C)+sin2C=sin2A 。
。。(4) sin2C+2sin(C+A)+sin2A=sin2B 。。。
(5) (3)+(4)+(5)： sin2A+sin2B+sin2C+2[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]=0 因此：sin(2A)+sin(2B)+sin(2C) = 2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC = 2(sinB+sinC)(cosB+cosC)+2(sinC+sinA)(cosC+cosA)+2(sinA+sinB)(cosA+cosB) = sin2A+sin2B+sin2C+2[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)] = 0。
sinA+sinB=-sinC...(1),cosA+cosB=-cosC...(2)(1)*(2)*2,sin(2A)+2sin(A+B)+sin(2B)=sin(2c).sin(A+B)= n(2A)+sin(2B)+sin(2C)=0.
答：证明 设D(sinA,cosA), E(sinB,cosB), C(sinC,cosC)是圆方程: x^2+y^2=1上三点，圆心O为(0,0)，圆心O是ΔDE...详情>>
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答：中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！ 而科学的发展，往往受制于社会...详情>>
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