几何恒等式证明证明P点在ΔABC外接圆上的充要条件是:PA^2* 爱问知识人

几何恒等式证明

证明P点在ΔABC外接圆上的充要条件是:
PA^2*sin2A+PB^2*sin2B+PC^2*sin2C=2S
[其中S为ΔABC的面积]

丽***

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  经验证，等式右边应该是4S
为书写方便，记BC=a,CA=b,AB=c；PA=x,PB=y,PC=z
P在外接圆上的充要条件是（由托勒密定理）
ax-by-cz,by-ax-cz,cz-ax-by中有一个为零！
不妨设ax-by-cz=0，即xsinA=ysinB+zsinC
而此时，P在BC弧上，由面积关系可得
S+(1/2)yzsinA=(1/2)zxsinB+(1/2)xysinC
即2S=-yzsinA+zxsinB+xysinC
那么
(x^2sin2A+y^2sin2B+z^2sin2C)/2+yzsinA-zxsinB-xysinC
=x^2cosAsinA+y^2cosBsinB+z^2cosCsinC
+yzcosBsinC+yzcosCsinB-zxcosCsinA-zxcosAsinC-xycosAsinB
-xycosBsinA
=xcosA(xsinA-ysinB-zsinC)+ycosB(ysinB+zsinC-xsinA)
+zcosC(zsinC+ysinB-xsinA)
=(xsinA-ysinB-zsinC)(xcosA-ycosB-zcosC)
=0
所以，修正后的等式成立
如果P点满足修正后的等式，通过倒推，记法同前，即可证明！
也可以另选思路（但不如这样方便）
。

b***

2010-04-23 10:06:05

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证明P点在ΔABC外接圆上的充要条件是: 
PA^2*sin2A+PB^2*sin2B+PC^2*sin2C=2S 
[其中S为ΔABC的面积]

m***

2010-04-23 09:01:20

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