证明 设D(sinA,cosA), E(sinB,cosB), C(sinC,cosC)是圆方程: x^2+y^2=1上三点，圆心O为(0,0)，圆心O是ΔDEF的外心， 由已知条件知 (sinA+sinB+sinC)/3=0; (cosA+cosB+cosC)/3=0. 所以O(0,0)又是ΔDEF的重心， 从而知ΔDEF是正三角形。角A,B,C依次相差2π/3.于是 cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=cos(2A)+cos(2A+4π/3)+cos(2A+8π/3) =cos(2A)+cos(2A-2π/3)+cos(2A+2π/3) =cos(2A)+2cos(2A)*cos(2π/3) =cos(2A)-cos(2A)=0. 证毕.
cosA+cosB+cosC=0 ==> cosA+cosB = -cosC 。。。(1) sinA+sinB+sinC=0 ==> sinA+sinB = -sinC 。。。(2) (1)^2-(2)^2 ==> cos2A+cos2B+2cos(A+B)=cos2C 。
。。(3) 同理有：cos2B+cos2C+2cos(B+C)=cos2A 。。。(4) cos2C+cos2A+2cos(C+A)=cos2B 。。。(5) (3)+(4)+(5)得： -2[cos(A+B)+cos(B+C)+cos(C+A)]=cos2A+cos2B+cos2C 。
。。
(6) 因此：cos2A+cos2B+cos2C = (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2-(sinA)^2-(sinB)^2-(sinC)^2 = (cosA+cosB+cosC)^2-2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)- - (sinA+sinB+sinC)^2+2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA) = -2[cos(A+B)+cos(B+C)+cos(C+A)] =cos2A+cos2B+cos2C ==> cos2A+cos2B+cos2C =0。
已知sinA+sinB+sinC=0, cosA+cosB+cosC=0，求证 cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=0。 证明：（数形结合方法）不妨设0<=A<=B<=C<=2π, 构造复数z1=cosA+isinA,z2=cosB+isinB,z3=cosC+isinC,则 z1+z2+z3=cosA+cosB+cosC+i(sinA+sinB+sinC)=0, 于是有 z1+z2=-z3,z2+z3-=z1,z3+z1=-z2, 又|z1|=|z2|=|z3|=1, 所以，复数z1,z2,z3的对应点Z1,Z2,Z3是单位圆上的等分点，即有C-B=B-A=120度， 而|cos(A+B)+isin(A+B)|=|cos(B+C)+isin(B+C)|=|cos(C+A)+isin(C+A)|=1， 且(B+C)-(C+A)=(C+A)-(A+B)=120度， 因此，复数cos(A+B)+isin(A+B)，cos(B+C)+isin(B+C)，cos(C+A)+isin(C+A)的对应点也是单位圆上的等分点， 于是，有 z1^2+z2^2+z3^2=(z1+z2+z3)^2-2(z1z2+z2z3+z3z1) =-2(z1z2+z2z3+z3z1) =-2[cos(A+B)+isin(A+B)+cos(B+C)+isin(B+C)+cos(C+A)+isin(C+A)] =0， 而z1^2+z2^2+z3^2=cos2A+isin2A+cos2B+isin2B+cos2C+isin2C =cos2A+cos2B+cos2C+i(sin2A+sin2B+sin2C)， 故 cos2A+cos2B+cos2C+i(sin2A+sin2B+sin2C)=0， 因此 cos2A+cos2B+cos2C=0，sin2A+sin2B+sin2C=0。
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用sinA=a/2r sinB=b/2r^^^^^^带换旧行乐
答：已知sinA+sinB+sinC=0, cosA+cosB+cosC=0，求证 cos(2A)+cos(2B)+cos(2C)=0. 证明：（数形结合方法）不妨...详情>>
答：详情>>
答：x->0:lim(1+x)^(-1/x) =1/[x->0:lim(1+x)^(1/x) =1/e x->∞:limxsin(1/x) =1/x->0:lim[...详情>>
答：对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发和教育，而对于那些急功近利、在学习上不肯刻苦钻研的人，则毫不客气地予以批评详情>>
