两锐角三角不等式
两锐角三角不等式 5/2>sinBsinC/cos(B-C)+sinCsinA/cos(C-A)+sinAsinB/cos(A-B) ≥9/4 3/4≥cosBcosC/cos(B-C)+ cosCcosA/cos(C-A)+ cosAcosB/cos(A-B)>1/2
两锐角三角不等式 5/2>sinBsinC/cos(B-C)+sinCsinA/cos(C-A)+sinAsinB/cos(A-B) ≥9/4 (1) 3/4≥cosBcosC/cos(B-C)+ cosCcosA/cos(C-A)+ cosAcosB/cos(A-B)>1/2 (2) 证明 设a,b,c表示ΔABC对应的边长，S表示面积。
根据正弦定理、余弦定理及海仑公式：sinA=2S/bc，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) ， sinB*sinC=4S^2/a^2*bc， cosB*cosC=(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)/(4a^2*bc) ， cos(B-C)=[ (c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)+16S^2] /(4a^2*bc) ， 16S^2= (c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2)+ (a^2+b^2-c^2) *(b^2+c^2-a^2) +(c^2+a^2-b^2)* (b^2+c^2-a^2) 。
根据题设条件：ΔABC为锐角三角形， 即:b^2+c^2-a^2>0， c^2+a^2-b^2>0，a^2+b^2-c^2>0。 设x，y，z为正实数，令x=(c^2+a^2-b^2)*(a^2+b^2-c^2) ，y= (a^2+b^2-c^2) (b^2+c^2-a^2) ，z=(c^2+a^2-b^2)* (b^2+c^2-a^2) 。
则(1)式、(2)式经置换整理后，分别等价于: 5/2> (x+y+z)/(2x+y+z)+ (x+y+z)/(2y+z+x)+ (x+y+z)/(2z+x+y)≥9/4 (3) 3/4≥x/(2x+y+z)+ y/(2y+z+x)+ z/(2z+x+y)>1/2 (4) (3)式两边同减3，再同乘以-1即为(4)式；或(4)式两边同减3，再同乘以-1即为(3)式。
所以说不等式(3)与(4)是等价的。因此欲证不等式(3),(4)，只需证下列两式即可 (x+y+z)/(2x+y+z)+ (x+y+z)/(2y+z+x)+ (x+y+z)/(2z+x+y)≥9/4 (5) x/(2x+y+z)+ y/(2y+z+x)+ z/(2z+x+y)>1/2 (6) 因为有恒等式 (2x+y+z)/(x+y+z)+ (x+2y+z)/(y+z+x)+ (x+y+2z)/(z+x+y)=4 x(2x+y+z)+ y(x+2y+z)+ z(x+y+2z)=2(x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy) 据此及柯西不等式: [(2x+y+z)/(x+y+z)+(x+2y+z)/(y+z+x)+(x+y+2z)/(z+x+y)]* [(x+y+z)/(2x+y+z)+(x+y+z)/(2y+z+x)+(x+y+z)/(2z+x+y)] ≥9 即得不等式(5)。
[x(2x+y+z)+ y(x+2y+z)+ z(x+y+2z)]*[ x/(2x+y+z)+ y/(2y+z+x)+ z/(2z+x+y)] ≥(x+y+z)^2 欲证(6)式，只需证 2(x+y+z)^2> x(2x+y+z)+ y(x+2y+z)+ z(x+y+2z) (7) (7) 式化简即为: yz+zx+xy>0,故(6)式成立。
不等式链(3),(4)成立,从而不等式(1),(2)得证。 。
首先显然有恒等式： tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。 sinBsinC/cos(B-C)=sinBsinC/[cosBcosC+sinBsinC]=tanBtanC/[1+tanBtanC]=[(tanA+tanB+tanC)/tanC]/[1+tanBtanC]=[tanA+tanB+tanC]/[2tanA+tanB+tanC] 因此 设x=tanA, y=tanB, z=tanC,那么x>0,y>0,z>0。
sinBsinC/cos(B-C)+sinCsinA/cos(C-A)+sinAsinB/cos(A-B) ]=[tanA+tanB+tanC]/[2tanA+tanB+tanC]]+[tanA+tanB+tanC]/[tanA+2tanB+tanC]]+[tanA+tanB+tanC]/[tanA+tanB+2tanC] =[x+y+z]*[1/(2x+y+z)+1/(x+2y+z]+1/(x+y+2z)]>=[x+y+z]*(1+1+1)^2/[(2x+y+z)+(x+2y+z)+(x+y+2z)]=9/4。
sinBsinC/cos(B-C)+sinCsinA/cos(C-A)+sinAsinB/cos(A-B) ]= [x+y+z]/[2x+y+z]+[x+y+z]/[x+2y+z]+[x+y+z]/[x+y+2z] 因为上式是关于x,y,z的齐次式，所以可以假设x+y+z=1,否则将x,y,z以x,y,z分别除以x+y+z代替就可以了。
因此上式=1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z) 待证左边不等式等价于 1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z) (1+y+z+yz)+(1+x+z+zx)+(1+x+y+xy)xy+yz+zx<5/2(xy+yz+zx+xyz) 显然成立。
因此第一个不等式得证。 cosBcosC/cos(B-C)+ cosCcosA/cos(C-A)+ cosAcosB/cos(A-B) =3-[sinBsinC/cos(B-C)+sinCsinA/cos(C-A)+sinAsinB/cos(A-B)] 因此第二个不等式也得证。
。
答：答案在附件中详情>>
问：小华5/1小时行了3/2千米他行1千米需要多少小时，他行1小时可行多少千米？（为...
答：1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
问：甲车每小时行38km乙车每小时行41km甲乙车同时两地开岀相向行了2.5小时后相...
答：（38+41）x2.5=197.5千米详情>>
