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三角恒等式

已知sinA+sinB+sinC＝0,cosA+cosB+cosC＝0.
证明：cos2A+cos2B+cos2C＝0。

s***

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设D(sinA,cosA)、E(sinB,cosB)、C(sinC,cosC),
点D、E、C是单位圆x^2+y^2＝1上三点，
圆心O(0,0)是△DEF的外心，则
(sinA+sinB+sinC)/3＝0,(cosA+cosB+cosC)/3＝0.
可见，O又是△DEF的重心，
故△DEF是正三角形，点A、B、C相差2π/3.
∴cos2A+cos2B+cos2C
＝cos2A+cos(2A-2π/3)+cos(2A+2π/3)
＝cos2A+2cos2Acos(2π/3)
＝cos2A-cos2A
＝0.
证毕。

柳***

2013-08-21 13:55:59

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由sinA+sinB+sinC＝0,cosA+cosB+cosC＝0得
sinA+sinB=-sinC,①
cosA+cosB=-cosC，②
①^2+②^2,2+2cos(A-B)=1,cos(A-B)=-1/2,③
②^2-①^2,cos2A+cos2B+2cos(A+B)=cos2C,④
∴2cos(A+B)cos(A-B)+2cos(A+B)=cos2C,⑤
把③代入⑤，cos(A+B)=cos2C,代入④,化简得
cos2A+cos2B+cos2C=0.

l***

2013-08-20 19:58:27

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