高三数学难题
已知函数f(X)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1, 已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1, an+1=f(an),n=1,2,3...
证明:
1)0<an+1<an<1
2)an+1<1/6an^2
证明：1)f`(x)=1-cosx≥0，故f(x)单调递增， 用数学归纳法证明。 当n=1时，a-a=f(a)-a=-sina＜0， 即a＜a＜1，而由0＜a＜1，得a＜sina 故0＜a＜a＜1 假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时， a-a=f(a)-f(a) 由归纳假设知a-a＜0，再由f(x)单调递增， 得a＜a＜1，由归纳假设0＜a＜1，得a＜sina 故0＜a＜a＜1 即命题当n=k+1时也成立。
综上，对所有的n=1,2,3,…，都有0＜a＜a＜1。
2)a-(1/6)a³=-(1/6)a³+a-sina 构造函数g(x)=-(1/6)x³+x-sinx g`(x)=-x²/2+1-cosx=-x²/2+2sin²(x/2) =2[sin(x/2)+(x/2)][sin(x/2)-(x/2)] 当0＜x/2＜1时，用单位圆易证0＜sin(x/2)＜(x/2) ∴g`(x)＜0，g(x)单调递减 ∴g(a)＜g(0)=0 即a-(1/6)a³＜0 亦即a＜(1/6)a³。
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