椭圆直线相交三角形面积
已知直线y=2x b与椭圆x^2/2 y^2/8=1相交与不同的两个A、B，定点P的坐标为（1，2）求b值，使三角形PAB的面 已知直线y=2x b与椭圆x^2/2 y^2/8=1相交与不同的两个A、B，定点P的坐标为（1，2）求b值，使三角形PAB的面积最大，并求这个最大值！我要详细步骤和解答！用什么公式等等！谢谢！
设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)。
第一步：求所截线段长度。
将y = 2x b代入椭圆方程x²/2 y²/8=1中，化简，得 8x² 4x b²-8 =0
根据韦达定理，x1 x2 = -4/(2×8) = -1/4，x1x2 = (b²-8)/8
∴(x1-x2)² = (x1 x2)² - 4x1x2 = (-1/4)² - 4(b²-8)/8 = (65-8b²)/16 。
。。。。。。。。①
根据两点间距离公式，线段AB长度为
d = √((x2 - x1)² (y2 - y1)²) 。。。。。。。。。。。。。②
由于点A、B在直线y = 2x b上，所以y1 = 2x1 b，y2 = 2x2 b
∴(y2 - y1)² = (2x2 - 2x1)² = 4(x2 - x1)²
结合式①、②，线段AB长度为
d = √(5(x2 - x1)²) = √(5·((65-8b²)/16))
第二步：求点P到直线AB距离
利用点到直线距离公式，先将直线AB方程写为一般式：2x-y b =0
然后套公式，其距离h = |2·1-2 b|/√(2² 1²) = |b|/√5
第三步：求出△PAB面积，然后求最大值
△PAB面积 = 1/2 · d · h = 1/2 · √(5·((65-8b²)/16)) · |b|/√5 = 1/8·√((65-8b²)b²)
= (1/(8·2√2)) ·√((65-8b²)8b²)
利用均值不等式 √(ab) ≤ (a b)/2，当且仅当a = b取等。
∴√((65-8b²)8b²) ≤ (65-8b² 8b²)/2 = 65/2，
当且仅当65-8b² = 8b²，即b = ±√(65/16) = ±√65 / 4时取等。
故△PAB面积 ≤ (1/(8·2√2)) · 65/2 = 65√2 / 64，
且当b = ±√65 / 4 时取最大值。
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