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不定方程

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不定方程

 不定方程:X2-4614Y=1  
 
要求: 
    能写出全部过程以及解题的原理。 

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  • 2007-06-27 20:42:22
      首先,4614=2*3*769(素分解)
    x^2=a mod10
    其中a=1,4,5,6,9,0
    上述6解中只有1被6除余1
    所以x^2=1 mod10,即x=+/-1 mod10
    一、设x=10b+1
    则10b(10b+2)=4614y,即5b(5b+1)=2307(y/2)
    这样一来,
    (1)b被3整除,令b=3c,y=2t
    得 5c(15c+1)=769t
    然而769=4 mod15
    所以只有 c=769,t=75*769+5=57680
    即 x=23071,y=115360
    (2)b被3除余1,令b=3c+1,y=2t
    得 5(3c+1)(10c+4)=769t
    769=1 mod3
    所以3c+1=769, c=156, t=50c+20
    即x=7691, y=12820
    二、设x=10b-1
    则10b(10b-2)=4614y,即5b(5b-1)=2307(y/2)
    (1)b被3整除,令b=3c,y=2t
    得 5c(15c-1)=769t
    然而769=4 mod15
    所以只有 c=769,t=75*769-5=57670
    即 x=23069,y=115340
    (2)b被3除余2,令b=3c-1,y=2t
    得 10(3c-1)(5c-3)=769t
    769=1 mod3, 769=4 mod5
    所以此时无解!
    故原方程的解为x=23071,y=115360
    x=7691, y=12820
    x=23069,y=115340
    。
      

    b***

    2007-06-27 20:42:22

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