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在△ABC中，证明：csc(A/2)+csc(B/2)+csc(C/2)≥6。

9***

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依三元均值不等式得
csc(A/2)+csc(B/2)+csc(C/2)
≥3[csc(A/2)csc(B/2)csc(C/2)]^(1/3).
而sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8（可另证）
→csc(A/2)csc(B/2)csc(C/2)≥8，
∴csc(A/2)+csc(B/2)+csc(C/2)≥3·8^(1/3)＝6.
故原式得证。

柳***

2013-05-26 15:10:34

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作变换A→π-2A,B→π-2B,C→π-2C,
问题变为在锐角三角形ABC中，secA+secB+secC>=6,①
secA+secB=(cosA+cosB)/(cosAcosB)=4cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]/[cos(A+B)+cos(A-B)],
设t=cos[(A-B)/2],则1/√2
		                全部

l***

2013-05-26 15:25:44

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