数学趣题
100文钱买100只鸡,大鸡每只8文钱,小鸡1文钱买3只,中鸡每只3文钱,你知道大、中、小鸡各买几只吗? 请用纯算术方法解。
本题两解。 小鸡1文钱买3只,中鸡每只3文钱,4文钱可买4只鸡,其中中鸡1只,小鸡3只。 100是4的25倍,因此第一解: 不买大鸡,买中鸡25只,小鸡75只。 大鸡每只8文钱,小鸡1文钱买3只, 买大鸡1只,8文钱,钱数比鸡数多7; 买小鸡3只,1文钱,钱数比鸡数少2。 2和7的最小公倍数是14, 所以买大鸡2只,16文钱;买小鸡21只,7文钱, 23只鸡,23文钱。 100不是23的倍数,不可能不买中鸡。 小鸡和中鸡之和是4的倍数, 小鸡与大鸡之和必为23的4倍,92只,92文钱。 小鸡与中鸡之和为4的2倍,8只,8文钱。 因此第二解: 买大鸡2*4=8只,买中鸡1*2=2只,买小鸡21*4+3*2=90只。 本题两解。
纯算术方法,此题其实就是数论的内容,可以用《凑》的方法: 1)把1只中鸡和3只小鸡编成一小组,即4文钱买4只鸡, 2)得一特解: 大鸡=0,中鸡=25,小鸡=75, 3)注意到减一只中鸡的钱数可买9只小鸡,即总数增8只, 可得另一解: 大鸡=8,中鸡=2,小鸡=90, 4)通解: 大鸡=8k,中鸡=25-23k,小鸡=75+15k, 按题意,仅有此二解!
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设大鸡x只,中鸡y只,小鸡z只。 则x+y+z=100 (1) 8x+3y+z*1/3=100 (2) 将(2)式乘以3,得24x+9y+z=300 (3) (3)-(1),得23x+8y=200=8*25 由于x,y都是正整数,所以x能被8整除,而若x>8,则23x>200,不符合题 意。因此x=8,y=2,z=90 答:大鸡8只,中鸡2只,小鸡90只
100文钱买100只鸡,平均1文钱买1只鸡,买1只大鸡多花7文钱,买1只中鸡多花2文钱,买3只小鸡少花2文钱。买大鸡、中鸡多花的钱必须由买小鸡来补充,买中鸡与买小鸡很容易凑成平均数:4文钱买4只鸡(1中3小),关键就是把买大鸡和小鸡的数凑成平均数。
由于买1只大鸡多花7文钱,买3只小鸡少花2文钱,显然大鸡必须是偶数:当买2只大鸡时,比平均数多花了14文,小鸡应该买21只(23文买23只鸡),这时剩下的钱数是奇数,无法用中鸡和小鸡去凑成平均数;当买4只大鸡时,比平均数多花了28文,小鸡应该买42只(46文买46只鸡),这时剩下的钱数是54,不能被4整除,仍然无法用中鸡和小鸡去凑成平均数;当买6只大鸡时,剩下的钱数又是奇数,还是无法用中鸡和小鸡去凑成平均数;只有当买8只大鸡时,比平均数多花了56文,小鸡应该买84只(92文买92只鸡),剩下8文买2只中鸡和6只小鸡。
所以应该买8只大鸡,2只中鸡,90只小鸡。
解: 此题就是“百钱买百鸡问题”。一般都是用不定方程求解,小学生,甚至初中生都很难弄懂,本文采用“分组”法求解,小学生是可以看懂的。 分析与解 因为100文钱,买100只鸡,所以平均1文钱买1只鸡。每小组4只鸡:其中1只母鸡和3只小鸡,共值4文钱。
(因为1只母鸡3文钱,3只小鸡1文钱),恰好是平均1文钱买1只鸡。 每大组7只鸡:其中1只公鸡和6只小鸡。共值7文钱。(因为1只公鸡5文钱,3只小鸡1文钱,6只小鸡2文钱),恰好是平均1文钱买1只鸡。 无论100只鸡共可分成多少个大组和多少个小组,都是平均每1文钱买1只鸡。
100只鸡共可分成多少个大组和多少个小组呢? 通过分析试探可发现有以下几种情况。 ①分成4个大组,18个小组。 4个大组中公鸡有:1×4=4(只) 4个大组中小鸡有:6×4=24(只) 18个小组中母鸡有:1×18=18(只) 18个小组中小鸡有:3×18=54(只) 这种情况共有公鸡4只,母鸡18只,小鸡(24+54=)78(只)。
②分成8个大组,11个小组。 8个大组中公鸡有:1×8=8(只) 8个大组中小鸡有:6×8=48(只) 11个小组中母鸡有:1×11=11(只) 11个小组中小鸡有:3×11=33(只) 这种情况共有公鸡8只,母鸡11只,小鸡(48+33=)81(只)。
③分成12个大组,4个小组。 12个大组中公鸡有:1×12=12(只) 12个大组中小鸡有:6×12=72(只) 4个小组中母鸡有:1×4=4(只) 4个小组中小鸡有:3×4=12(只) 这种情况共有公鸡12只,母鸡4只,小鸡(72+12=)84(只)。
所以本题共有三种可能性:公鸡买4只,母鸡买18只,小鸡买78只;或公鸡买8只,母鸡买11只,小鸡买81只;或公鸡买12只,母鸡买4只,小鸡买84只。 。
问:数学小趣题△ABC中,D为AC上一点,且AD=BD=BC,∠ABD=多少?
答:凡是直角三角形,角B为直角,AC为斜边,D为斜边上的中点,都合乎题意,但角ABD却不同。详情>>
答:详情>>