已知两条异面直线a b所成的角为60,直线l与a b所成的角为θ,则θ的取值范围的解题 如图 直线a，b为异面直线，它们之间的夹角为60° 那么，过直线b上一点P，作直线a的平行线a' 则，∠a'Pb=60° 再过点P作直线L的平行线，且直线L与a'，b所成的角相等，为θ ①当直线L在直线a'，b确定的平面内时，则直线L为∠a'Pb的平分线【红色直线】 所以，θ=30° ②当直线L不在上述平面时【蓝色直线】，则过直线L上一点A做a'，b确定的平面的垂线，垂足为0 因为直线L与a'，b所成的角相等 所以，点O就在∠a'Pb的平分线上 再过点O作a'的垂线，垂足为B，连接AB 设直线L与a'，b确定的平面的夹角为α，AP=m 因为AO垂直面a'pb，所以：AO⊥a' 又，OB⊥a' 所以，a'⊥面AOB 则，a'⊥AB 那么：∠APB=θ，∠APO=α，∠OPB=30° 所以，PB=APcosθ=m*cosθ PO=AP*cosα=m*cosα 又，PB=PO*cos30° 所以，mcosθ=mcosα*cos30° ===> cosθ=cosα*cos30°＜cos30° ===> θ＞30° ③当直线L垂直于a'，b确定的平面时，θ=90° 综上：θ∈[30°,90°]。
如下图所示,把异面直线a b平移到平面β上的a',b'使交于点P, ∠APB=60°,PO是∠APB的平分线,过PO作β的垂直平分面N,则当直线L在面N内时,L与a,b所成的角为θ. 设直线L与β所成的角为φ,由三余弦定理:cosθ=cosφ·cos30°, ∴ cosφ=cosθ/cos30°=2cosθ/√3. ∵ 0°≤φ≤180°, ∴ -1≤cosφ≤1, ∴ -1≤2cosθ/√3≤1, -√3/2≤cosθ≤√3/2, ∴ 30°≤θ<180°.
【30°，90°】 将直线a平移与直线b相交，作直线1过交点，则当1为ab的锐角角平分线时，1与ab夹角最小为三十度，当1与ab直线确定的平面垂直石夹角最大为九十度
问：数学二面角，异面直线所成角，直线与平面所成角，向量所成角．的范围各是多少？
答：二面角的范围是[0,pi) 异面直线的范围是(0,pi/2] 直线与平面的角的范围是[0,pi/2] 向量的角的范围是[0,pi]详情>>
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