倒数关系：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系：
sin^2(α) cos^2(α)=1
1 tan^2(α)=sec^2(α)
1 cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin^2(α) cos^2(α)=1
tan α *cot α=1
一个特殊公式
（sina sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a θ）*sin（a-θ）
证明：（sina sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ a)/2] sin[(a-θ)/2]
=sin（a θ）*sin（a-θ）
坡度公式
我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）,用字母i表示,
即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式,如i=1:5。
如果把坡面与水平面的夹角记作
a(叫做坡角）,那么 i=h/l=tan a。
锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
1。
Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
2。Cos2a=1-2Sin^2(a)
3。Cos2a=2Cos^2(a)-1
即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin(3a)
=sin(a 2a)
=sin2acosa cos2asina
=2sina(1-sin²a) (1-2sin²a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin²a)
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60° sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60 a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60° a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos²a-3/4)
=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a 30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a 30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a 30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90° (60° a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60° a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60° a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60° a)
现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。
包括一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3 α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3 α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3 tan(α)^2)/(-1 3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3 a)· tan(π/3-a)
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1 cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1 cosα) tan(α/2)=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1 tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
其他
sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0 cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0
四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1 (-8*cosA^2 8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2 tanA^4)
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3 5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3 5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2 tanA^4)/(1-10*tanA^2 5*tanA^4)
六倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA 1)*(2*sinA-1)*(-3 4*sinA^2)) cos6A=((-1 2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2 1)) tan6A=(-6*tanA 20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1 15*tanA^2-15*tanA^4 tanA^6)
七倍角公式
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7 64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4 64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7 35*tanA^2-21*tanA^4 tanA^6)/(-1 21*tanA^2-35*tanA^4 7*tanA^6)
八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2 8*sinA^4 1)) cos8A=1 (160*cosA^4-256*cosA^6 128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1 7*tanA^2-7*tanA^4 tanA^6)/(1-28*tanA^2 70*tanA^4-28*tanA^6 tanA^8)
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3 4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4 36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3 4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4 36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2 126*tanA^4-36*tanA^6 tanA^8)/(1-36*tanA^2 126*tanA^4-84*tanA^6 9*tanA^8)
十倍角公式
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2 2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2 5 16*sinA^4)) cos10A=((-1 2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6 304*cosA^4-48*cosA^2 1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2 126*tanA^4-60*tanA^6 5*tanA^8)/(-1 45*tanA^2-210*tanA^4 210*tanA^6-45*tanA^8 tanA^10)
N倍角公式
根据棣美弗定理,(cosθ i sinθ)^n = cos(nθ) i sin(nθ) 为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c 考虑n为正整数的情形： cos(nθ) i sin(nθ) = (c i s)^n = C(n,0)*c^n C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 。
。。 C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 。。。 =>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 。
。。 i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 。。。 对所有的自然数n, 1。 cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。
2。 sin(nθ)： (1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。 (2)当n是偶数时：公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2(平方关系),因此即使再怎么换成s,都至少会剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉。
(例。 c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1 cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1 cosA)/sinA。
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1 cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1 cos(a))
和差化积
sinθ sinφ = 2 sin[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ cosφ = 2 cos[(θ φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA tanB=sin(A B)/cosAcosB=tan(A B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1 tanAtanB)
两角和公式
tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanαtanβ)
cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ
sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ =-[cos(α β)-cos(α-β)] /2
cosαcosβ = [cos(α β) cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α β) sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]/2
ch a = [e^a e^(-a)]/2
th a = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ α）= sinα
cos（2kπ α）= cosα
tan（2kπ α）= tanα
cot（2kπ α）= cotα
公式二：
设α为任意角,π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π α）= -sinα
cos（π α）= -cosα
tan（π α）= tanα
cot（π α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2 α）= cosα
cos（π/2 α）= -sinα
tan（π/2 α）= -cotα
cot（π/2 α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2 α）= -cosα
cos（3π/2 α）= sinα
tan（3π/2 α）= -cotα
cot（3π/2 α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt θ) B·sin(ωt φ) =
√{(A² B² 2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt arcsin[ (A·sinθ B·sinφ) / √{A^2 B^2; 2ABcos(θ-φ)} }
√表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一 sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
公式三 sin(π/2 α) = cosα
cos(π/2 α) = -sinα
公式四sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五sin(π α) = -sinα
cos(π α) = -cosα
公式六tanA= sinA/cosA
tan（π/2 α）=－cotα
tan（π/2－α）=cotα
tan（π－α）=－tanα
tan（π α）=tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1 (tan(α/2))²]
cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1 (tan(α/2))²]
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
其它公式
(1) (sinα)^2 (cosα)^2=1（平方和公式）
(2)1 (tanα)^2=(secα)^2
(3)1 (cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
证：
A B=π-C
tan(A B)=tan(π-C)
(tanA tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1 tanπtanC)
整理可得
tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x y z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA tanB tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB cotAcotC cotBcotC=1
(6)cot(A/2) cot(B/2) cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2; (cosB)^2 (cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA)^2 (sinB)^2 (sinC)^2=2 2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
(seca)^2 (csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sin x = x-x^3/3! x^5/5!-…… (-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)! ……。
(-∞。
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