反证法吧 假设存在整数解，即存在x，y满足方程 用y表示出x后x=。。必须还是一个整数 同理y也是 显然不可能 故不存在 原命题得证
我猜想,本题的思路应是:两边除以某一个整数后的余数不相同
显然y必须大于零 因此题目可以化为 “无正整数解” 等式两边同时模5(模就是做除法后取余数) 可以发现 x^2模5后的余数可以是 1，4，4，1，0 且呈周期性变化 5模5后的余数是0 y^3模5后的余数是 1，3，2，4，0 且呈周期性变化 要使等式成立 就必须使等式两边模5后的余数相同 由于5模5后的余数是0 也就要使 x^2模5后的余数等于y^3模5后的余数 表示为 X^2(mod5)=y^3(mod5)=k 情况一： k=0 =>X^2(mod5)=y^3(mod5)=0 =>X(mod5)=y(mod5)=0 设x=5a,y=5b,a>=1,b>=1(以保证是正整数) =>(5a)^2+5=(5b)^3 =>25a^2+1=125b^3 显然 25a^2+1(mod25)=1 125b^3(mod25)=25*5b^3(mod25)=0 两边模25 不等 因此这种情况无解 情况二： X^2(mod5)=y^3(mod5)=1 此时再对原等式两边模4 x^2模4后可能是 0，1 5模4后为1 Y^3模4后可能是1，0，3， 显然要使等式成立 就必须使 x^2模4后是 0 Y^3模4后是1 由前者可以推得x是偶数 后者可以推得Y模4后余数是1 由 y^3(mod5)=1 => y(mod5)=1 又因为Y模4后余数是1 =>y(mod20)=1 x是偶数 且 x（mod5）=1或4 可见 x的个位数是4或6 =>x(mod20)=4,6,14,16 下面讨论 当x(mod20)=4,y(mod20)=1时 设x=(20a+4),y=(20b+1) 带入原式 得到 (20a+4)^2+5=(20b+1)^3 => 400a^2+160a+16+5=8000b^3+1200b^2+60b+1 => (400a^2+100a)+60a+20=(8000b^3+1200b^2)+60b => 式中(400a^2+100a)和(8000b^3+1200b^2)都是100的倍数 => 当除数是100时，60a+20与60b同余（余数相同） => 也就是60a+20(mod100)=60b(mod100) =>a+1/3=b(mod100) 由于a,b是正整数 => a+1/3不可能=b => 这种情况是不存在的 当x(mod20)=6,y(mod20)=1时 可以用相同的做法得到否定的结果 当x(mod20)=14,y(mod20)=1时 可以将当x(mod20)=4化为x(mod20)=-6来做 综合以上四种小情况 可以得到 情况二的各种假设都是错误的 因此 情况一和情况二都不成立 因此 x^2+5=y^3无正整数解 也就是 x^2+5=y^3无整数解。
显然y必须大于零 因此题目可以化为 “无正整数解” 等式两边同时模5(模就是做除法后取余数) 可以发现 x^2模5后的余数可以是 1，4，4，1，0 且呈周期性变化 5模5后的余数是0 y^3模5后的余数是 1，3，2，4，0 且呈周期性变化 要使等式成立 就必须使等式两边模5后的余数相同 由于5模5后的余数是0 也就要使 x^2模5后的余数等于y^3模5后的余数 表示为 X^2(mod5)=y^3(mod5)=k 情况一： k=0 =>X^2(mod5)=y^3(mod5)=0 =>X(mod5)=y(mod5)=0 设x=5a,y=5b,a>=1,b>=1(以保证是正整数) =>(5a)^2+5=(5b)^3 =>25a^2+1=125b^3 显然 25a^2+1(mod25)=1 125b^3(mod25)=25*5b^3(mod25)=0 两边模25 不等 因此这种情况无解 情况二： X^2(mod5)=y^3(mod5)=1 此时再对原等式两边模4 x^2模4后可能是 0，1 5模4后为1 Y^3模4后可能是1，0，3， 显然要使等式成立 就必须使 x^2模4后是 0 Y^3模4后是1 由前者可以推得x是偶数 后者可以推得Y模4后余数是1 由 y^3(mod5)=1 => y(mod5)=1 又因为Y模4后余数是1 =>y(mod20)=1 x是偶数 且 x（mod5）=1或4 可见 x的个位数是4或6 =>x(mod20)=4,6,14,16 下面讨论 当x(mod20)=4,y(mod20)=1时 设x=(20a+4),y=(20b+1) 带入原式 得到 (20a+4)^2+5=(20b+1)^3 => 400a^2+160a+16+5=8000b^3+1200b^2+60b+1 => (400a^2+100a)+60a+20=(8000b^3+1200b^2)+60b => 式中(400a^2+100a)和(8000b^3+1200b^2)都是100的倍数 => 当除数是100时，60a+20与60b同余（余数相同） => 也就是60a+20(mod100)=60b(mod100) =>a+1/3=b(mod100) 由于a,b是正整数 => a+1/3不可能=b => 这种情况是不存在的 当x(mod20)=6,y(mod20)=1时 可以用相同的做法得到否定的结果 当x(mod20)=14,y(mod20)=1时 可以将当x(mod20)=4化为x(mod20)=-6来做 综合以上四种小情况 可以得到 情况二的各种假设都是错误的 因此 情况一和情况二都不成立 因此 x^2+5=y^3无正整数解 也就是 x^2+5=y^3无整数解。
答：这问题的初等证明在所有的初等数论书都可找到， 介绍1本中文书（通俗易懂）：《数论讲义》柯召，孙琦。 你先看看，比较长，但不难，我不写了。 如不行再说吧。 证明如...详情>>
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