∵ tana,tanb是方程x²-4x-2=0的两个实数根, ∴ tana+tanb=4,
tana·tanb=-2, ∴ tan(a+b)=4/[1-(-2)]=4/3.
cos²(a+b)+2sin(a+b)cos(a+b)-3sin²(a+b)
=cos²(a+b)[1+2tan(a+b)-3tan²(a+b)]
={1/[1+tan²(a+b)]}[1+2tan(a+b)-3tan²(a+b)]
=(3/7)[1+(8/3)-(16/3)]
=-5/7
tanα、tanβ是x^2-4x-2=0的两实根,
故依韦达定理得
{tanα+tanβ=4,
{tanαtanβ=-2
∴tan(α+β)=4/[1-(-2)]=4/3.
故依万能公式可得
sin2(α+β)=2×(4/3)/[1+(4/3)^2]=24/25,
cos2(α+β)=[1-(4/3)^2]/[1+(4/3)^2]=-7/25.
于是,
[cos(α+β)]^2+2sin(α+β)cos(α+β)-3[sin(α+β)]^2
=[1+cos2(α+β)]/2+sin2(α+β)-3×[1-cos2(α+β)]/2
=-1+sin2(α+β)+2cos2(α+β)
=-1+(24/25)+2×(-7/25)
=-15/25
=-3/5.
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