解法一: 由题意知,可设 t=(a-2)^2+(b-3)^2 以a+b+1=0 --->b=-a-1,代入所设得 2a^2+4a+20-t=0 判别式不小于0,故 16-8(20-t)>=0 --->t>=18 此时a=-1,b=0, 即当且仅当a=-1,b=0时取等号。
故a=-1,b=0时,(a-2)^2+(b-3)^2的最小值为18。 解法二: 由题意知可设(a-2)^2+(b-3)^2=r^2 联想到直线a+b+1=0与圆(a-2)^2+(b-3)^2=r^2(r>0), 于是,d=r^2>=18。
取等号时,有 {a+b+1=0 {(a-2)^2+(b-3)^2=18 解得a=-1,b=0 故当且仅当a=-1,b=0时,所求最小值为18。 解法三: 构造向量m=(1,1),n=(a-2,b-3),则 |m*n|^2=(a+b-5)=(-1-5)^2=<2[(a-2)^2+(b-3)^2] 取等号,得所设最小值为18, 此时a=-1,b=0。
--------------- 本题解法非常多,不一一列出了!。
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