二元函数中的几个关系
二元函数f(x,y)里的几个关系不大懂： 1.“f(x,y)在(x0,y0)连续”为什么不能推出“f(x,y)在(x0,y0)的偏导数都存在”？（顺便 2.为什么f(x,y)在(x0,y0)可微分不能推出f(x,y)在(x0,y0)的偏导数都连续呢？ 3.f(x,y)在(x0,y0)连续为什么不能推出f(x,y)在(x0,y0)可微分? 麻烦高手详细解释一下，感觉好混乱。谢了
你搞不清楚多元函数，一元函数总应该搞得清楚吧？ 在一元函数里，可微一定连续，连续不能推出可微，这应该不会不知道吧？不要学习了多元函数，把原来最基本的概念也丢掉了，所以你的问题3根本不应该问的。 在一元函数里，可微一定可导，可导一定可微，可导就是导数存在的意思，没有听说过连续可以推出可导、可微可以推出导函数连续吧？ 多元函数里出现的“偏导数”是一元函数里没有的概念，因为一元函数一共只有一个自变量。
所谓“偏导数”，实际上是固定其它的自变量，把多元函数当作一元函数求导数。以前很多教材把多元函数各个偏导数都存在也叫做多元函数“可导”，这样一元函数里的“可导”与多元函数里的“可导”就不同了，一元函数里“可导”是可微的充分必要条件，多元函数里“可导”只是可微的必要条件，这更把一些人弄得稀里糊涂，所以现在出版的教材大多已不这样叫了，偏导数存在就叫“偏导数存在”。
明白了偏导数的实际意义（即把多元函数当作一元函数时的导数），你的问题就不成为问题了， 连续不能推出可导，当然连续不能推出偏导数存在； 可微不能推出导函数连续，当然可微不能推出偏导数连续。
楼上的大师说的很好 我也表达一下我的看法 函数连续性的几何意义是说函数(图像)没有间断点的 而函数可导是说函数不存在尖点，也就是说函数(图像)是光滑的。 直观的例子就是f(x)=|x|,显然函数是连续的（没有间断点），而函数在0点不是光滑的(即是个尖点)，用数学语言表达就是在0点的左右导数不相等。也就是说函数在0点不可导。 另一方面，我们有上面的例子看到 函数连续，不能推出函数可导，因而更无从谈起导函数的连续性了。 其实多元函数和一元函数的情形差不多，只是多元函数要求对路径无关。
答：要证明二元函数在某点处连续或存在极限都是很困难的，需要用极限的定义来证明，对于一般的二元函数恐怕是办不到的。（注意我这段话！） 但是，要判断二元函数在某点不连续...详情>>
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