一半径为R的半圆形平板垂直放入水中
一半径为R的半圆形平板垂直放入水中，直径在上且与水面相齐,要使平板一侧受到的压力增加一倍,问平板下降一半径为R的半圆形平板垂直放入水中，直径在上且与水面相齐,要使平板一侧受到的压力增加一倍,问平板应下降多深,具体过程谢谢，结果如何解出来
解：以园心作坐标原点，水平直径作X轴，Y轴向下为正向，在此坐标系里，半园的方程为X^2+Y^2=R^2, (-R≤X≤R,0≤Y≤R)。 现按题意将半园形平板置入水中，X轴与水平面平行，且X轴距水平面的距离为h0 水的比重γ＝1，水的压强P=γ(h0+y)=h0+y。
为简化计算，只计算（1/2)半园面 所受的压力，整个半园面所受的压力是其2倍。取厚度为dy,宽度为X的小面积作为积分元，即ds=xdy（S表面积），面积ds上所受的压力dF=pds=(h0+y)xdy =[(h0+y)√(R^2-Y^2)]dy。
故半园面一侧所受的总压力F=2∫(0,R)dF=2∫(0,R)[(h0+y)√(R^2-Y^2)]dy =2{h0∫(0,R)√(R^2-Y^2)dy+∫(0,R)y√(r^2-y^2)dy} =2{ho[(y/2)√(R^2-Y^2)+((R^2)/2)arcsin(y/R)]-[(R^2-Y^2)^(3/2)]/3}(0,R) =2{h0[(πR^2)/4]+(R^3)/3} =(πhoR^2)/2+(2R^3)/3。
当h0=0时（即当题意中的“直径在上且与水面相齐”），半园平板一侧所受的总压力F0=2(R^3)/3。现把平板向水下移动，平板所受压力当然随之增加，设增加后的压力为F,且F=2F0,于是有等式： （πh0R^2)/2+2(R^3)/3=4(R^3)/3, 即（πh0R^2)/2=2(R^3)/3 故h0=4R/3π。
即要使水平直径下移到距水平面4R/3π的深度。
答：垂直放置的矩形平板闸门，闸门前水深3m，静水总压力P的作用点到水面的距离为2.0m详情>>
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