已知函数,.当时,求函数的单调区间;已知(其中是自然对数的底数),若存在实数,使...
已知函数,.
当时,求函数的单调区间;
已知(其中是自然对数的底数),若存在实数,使成立,证明:;
证明:.
()利用导数的运算法则即可求出其单调区间;()将已知(其中是自然对数的底数),若存在实数,使成立,等价于已知,当时,使成立,先求出函数的最大值,进而即可得出结论。()由()可知,当时,函数在区间上单调递减,所以。可得。当时,,得,即。利用上式即可证得结论。
解:()当时,,。,,此函数的定义域为。。令,得或。又,当,或时,;当时,。函数在区间或上单调递增;在区间上单调递减。。()已知(其中是自然对数的底数),若存在实数,使成立,上述问题等价于已知,当时,使成立,下面求当时,函数求的最大值。
,。,令解得,。当时,;当时,。函数在区间上单调递增;在区间上单调递减。故函数在时取得最大值,且,,即。()由()可知,当时,函数在区间上单调递减,函数在上为减函数。又函数在处连续,。即,亦即。。当时,有。当时,,,即。,故结论成立。 本题综合考查了利用导数求函数的单调区间,最值及证明不等式,熟练求导和善于转化及利用已证结论是解决问题的关键。
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