楼上的方法,在下佩服.我这里给出一个初等的方法. sin^2(α)表示 sinα的平方 x+y+z=1 (x、y、z≥0) 则可设 x=(1-z)sin^2(α) y=(1-z)cos^2(α) 则 xyz(y+z) =sin^2(α)cos^2(α)*z*(1-z)^3 =1/4 * sin^2(2α)*z*(1-z)^3 ≤1/4 * z * (1-z)^3 =1/12 *3z*(1-z)^3 ≤1/4 *四次根号下[(3z+ 1-z + 1-z + 1-z)/4]^4 =27/1024 取等号时的条件:x=y , 3z=1-z 即 z=1/4 , x=y=3/8 xyz(y+z)=27/1024 不好意思啊,阁下的过程我确实是白看,我才高三,但是我求出来的最大值怎么比你的最大值大一点点啊?阁下莫非算错了点什么?
我用拉格朗日法解出来一个最大值9/1024，如果是中学生的话，就当白看吧。 求xyz(y+z)的最值, 相当于求f(x)=ln[xyz(y+z)]的最值，而 f(x,y,z) = ln(x) + ln(y) + ln(z) + ln(y+z) 在约束条件 x+y+z=1 下有拉格朗日量 L(x,y,z) = f(x,y,z) + s(1-x-y-z) 于是有 L'x = 1/x - s = 0 L'y = 1/y + 1/(y+z) - s = 0 L'z = 1/z + 1/(y+z) - s = 0 解得 x_0 = 1/s , y_0 = z_0 = 3/(2s) 而 L''xx = -1/x^2, L''yy = -1/y^2 - 1/(y+z)^2, L''zz = -1/z^2, L''xy = L''xz = L''yx = L''zx = 0 L''yz = L''zy = -1/(y+z)^2 于是有L的二阶二次型负定, 所以L有最大值 将x_0,y_0,z_0代入x+y+z=1有 s = 1/4 于是有 x_0 = 1/4 , y_0 = z_0 = 3/8 xyz(y+z)的最大值为 9/1024 补充：就是哦，最后一步算错了，分子是3个3连乘，我少算了一个。
惭愧惭愧~~ 最大值是 27/1024 不过，楼下好像也有个问题吧？ 是x=1/4，y=z=3/8才能够得到 xyz(y+z)=27/1024的答案的，z=1/4，x=y=3/8得到的xyz(y+z)=45/2048，注意到y,z的对称性，也不应该是x=y而不是y=z。
对吧？。
答：x+y+z=1 ==>（x+y+z)²=1 x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx=1 x²+y²...详情>>
问：小华5/1小时行了3/2千米他行1千米需要多少小时，他行1小时可行多少千米？（为...
答：1/5÷2/3=1/5×3/2=3/10小时详情>>
问：甲车每小时行38km乙车每小时行41km甲乙车同时两地开岀相向行了2.5小时后相...
答：（38+41）x2.5=197.5千米详情>>
