解 构造复数z1=cosA+isinA,z2=cosB+isinB,z3=cosC+isinC,则由条件知 z1+z2+z3=0, 所以 (z1+z2+z3)^2=0, 即 0=z1^2+z2^2+z3^2+2(z1z2+z2z3+z3z1) =cos(2A) +cos(2B)+cos2C)+i(sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)) +2[cos(A+B)+cos(B+C)+cos(C+A)]+i[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)] = cos(2A) +cos(2B)+cos2C)+i(sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)) -(cosA+cosB+cosC)+i(sinA+sinB+sinC) = cos(2A) +cos(2B)+cos(2C)+i(sin(2A)+sin(2B)+sin(2C))。
因此，cos(2A) +cos(2B)+cos(2C)=0，sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=0。 。
已知 sinA+sinB+sinC=0, cosA+cosB+cosC=0， 求证 sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=0。 证明 设D(sinA,cosA), E(sinB,cosB), F(sinC,cosC)是圆方程: x^2+y^2=1上三点，圆心O为(0,0)，它是ΔDEF的外心， 由已知条件 (sinA+sinB+sinC)/3=0; (cosA+cosB+cosC)/3=0。
所以O(0,0)又是ΔDEF的重心，从而知ΔDEF是正三角形。 角A,B,C依次相差2π/3。
于是 sin(2A)+sin(2B)+sin(2C) =sin(2A)+sin(2A+4π/3)+sin(2A+8π/3) =sin(2A)+sin(2A-2π/3)+sin(2A+2π/3) =sin(2A)+2sin(2A)*cos(-2π/3) =sin(2A)-sin(2A)=0。
将两条件式分别平方后相减,再利用余弦倍角公式、余弦两角差公式及内角和等于180度,变换即可证明。
我的解答如下：
问：初一代数已知，a,b,c 均是实数，且满足a^2 +b^2 =1,c^2+d^2 =1,ac+bd=0.求证b^2+d^2=1,a^2+c^2=1,ab+cd=0.
答：1.若a=0,则b=1,d=0,c=1 成立 2.同理d=0,命题也成立 3.a,d都不=0时 有b/a=-c/d 且a^2*[1+(b/a)]^2=1=d^2...详情>>
