已知sinA+sinB+sinC=0, cosA+cosB+cosC=0，求证 sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=0。 证明 设D(sinA,cosA), E(sinB,cosB), C(sinC,cosC)是圆方程: x^2+y^2=1上三点，圆心O为(0,0)，圆心O它是ΔDEF的外心，又由已知条件知: (sinA+sinB+sinC)/3=0; (cosA+cosB+cosC)/3=0。
所以圆心O(0,0)又是ΔDEF的重心，从而知ΔDEF是正三角形。角A,B,C依次相差2π/3。于是 sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=sin(2A)+sin(2A+4π/3)+sin(2A+8π/3) =sin(2A)+sin(2A-2π/3)+sin(2A+2π/3) =sin(2A)+2sin(2A)*cos(-2π/3) =sin(2A)-sin(2A)=0。
证毕 。
因： sinA+sinB+sinC=0 cosA+cosB+cosC=0 所以： sinA+sinB=-sinC cosA+cosB=-cosC 两式两边平方并相加，得： 2+2cos(A-B)=1 cos(A-B)=-1/2 因而 sin2A+sin2B+sin2C =2sin(A+B)cos(A-B)+sin2C =sin2C-sin(A+B)---------------------------(1) 另一方面， 把原来的两式相乘并化简，得： sin2A+sin2B+2sin(A+B)=sin2C 因此得： sin2A+sin2B+sin2C =2sin2C-2sin(A+B)-----------------------------(2) 综合(1),(2)可知： sin2C-sin(A+B)=2[sin2C-sin(A+B)] 所以sin2C-sin(A+B)=0 即：sin2A+sin2B+sin2C=0。
我也做了一个!
已知sinA+sinB+sinC=0, cosA+cosB+cosC=0，求证 sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=0。 换个思路试试。 解 构造复数z1=cosA+isinA,z2=cosB+isinB,z3=cosC+isinC,则由条件知 z1+z2+z3=0, 所以 (z1+z2+z3)^2=0, 即 0=z1^2+z2^2+z3^2+2(z1z2+z2z3+z3z1) =cos(2A) +cos(2B)+cos2C)+i(sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)) +2[cos(A+B)+cos(B+C)+cos(C+A)]+i[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)] = cos(2A) +cos(2B)+cos2C)+i(sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)) -(cosA+cosB+cosC)+i(sinA+sinB+sinC) = cos(2A) +cos(2B)+cos(2C)+i(sin(2A)+sin(2B)+sin(2C))。
因此，cos(2A) +cos(2B)+cos(2C)=0，sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)=0。 。
答：解 构造复数z1=cosA+isinA,z2=cosB+isinB,z3=cosC+isinC,则由条件知 z1+z2+z3=0, 所以 (z1+z2+z3)^...详情>>
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