这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt ∫f(t)dt
= Φ(x) ∫f(t)dt
即
Φ(x Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m0 时，Φ(x Δx) - Φ(x)->0，即
lim Φ(x Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|0时，
Φ'(x) = lim [Φ(x Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)
命题得证。
由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到
Φ(x)=F(x) C
当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时
Φ(a)=0=F(a) C
即C=-F(a)
得到
Φ(x)=F(x)-F(a)
则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx，得到
Φ(b)=∫f(x)dx = F(b)-F(a)
至此命题得证。
你可以查一下参考书 那里更加详细望采纳 谢谢 有任何不懂 请加好友 一一解答。
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