高一数学题（难）
已知f(θ)=(sinθ)^2 [sin(θ＋α)]^2 [sin(θ＋β)]^2,其中α、β是常数，且满足0≤α≤β≤π，是否存在这样的的α、β使f(θ)是与θ无关的定值，若存在，求出α、β；若不存在，说明理由
假设存在符合要求的角 α β 使得
f(θ)=(sinθ)^2 [sin(θ＋α)]^2 [sin(θ＋β)]^2
当 θ= 0 时 有 f(0)= 0 sinα^2 sinβ^2 ①
当 θ =Л/2 时 f(Л/2)= 1 cosα^2 cosβ^2 ②
由 f(θ) 与θ无关 得 所以 ①=②
① ②= sinα^2 sinβ^2 cosα^2 cosβ^2 1=3
由 ①=② 得 sinα^2 sinβ^2= 1 =1 cosα^2 cosβ^2
所以 1 cosα^2 cosβ^2=1 即 cosα^2 cosβ^2=0
所以 cosα^2=cosβ^2=0 由已知 0≤α≤β≤π 得 α=β=Л/2
代入验证 sinα^2 sinβ^2=2 与 sinα^2 sinβ^2=1 矛盾
综上所述 不存在满足条件的 α β
真是贻笑大方了。
在下愿再次献丑，望各位不啬赐教，感激不尽。
利用原理：f (x)为定值 f(x)导数值恒为零
解：f´(θ)=2sinθcosθ 2sin(α θ)cos(α θ) 2sin(θ β)cos(θ β)
=sin2θ sin2(θ α) sin2(θ β)
∵ f(θ)的值与θ无关
∴ f´(θ)≡0
当θ=0 时 f´(θ)=sin2α sin2β=2sin(α β)cos(α-β)=0
∵ 0≤α≤β≤π
∴α β=0 或 α β=Л 或 β-α=Л/2
当θ=Л/4时 f´(θ)=1 cos2α cos2β=0
即 2cos(α β)cos(α-β)=-1 ①
∴α β≠0 β-α≠Л/2
∴α β=Л
与①联立 得 2cosЛcos(α-β)=-1 即 cos(α-β)=1/2
又∵ (β-α)∈[0,Л]
∴ β-α=Л/3 α β=Л
解得 α=Л/3 β=2Л/3
代入验证 f´(θ)≡0
综上可得 α=Л/3 β=2Л/3 满足条件。
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