在△ABC中，设内角A,B,C的三等分角线分别交对边BC,CA,AB于X，K，Y，M，Z，N。 
求证 X，K，Y，M，Z，N六个点在同一个圆锥曲线上。 
证明 圆锥曲线在坐标三角形ABC的一般方程为:
Ax^2+By^2+Cz^2+Dyz+Ezx+Fxy=0            (1)
[在直角坐标系中圆锥曲线的一般方程为:
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。
                  (2)
方程(1)与方程(2)，可通过两坐标系转化关系式相互代换。]
设t=A/3,p=B/3,q=C/3，BC=a,CA=b,AB=c。
按重心坐标定义计算各点之重心坐标。
X(0，2b*cost，c);
K(0，b，2c*cost);
Y(a，0，2c*cosp);
M(2a*cosp，0，c);
Z(2a*cosq，b，0);
N(a，2b*cosq，0)。
  
上述六个点是否同在某一个圆锥曲线(1)上，取决于下述方程组，是否有不全为0的解。
(2b*cost)^2*B+b^2*C+2bc*cost*D=0 
b^2*B+(2c*cost)^2*C+2bc*cost*D=0 
a^2*A+(2c*cosp)^2*C+2ca*cosp*E=0
(2a*cosp)^2*A+c^2*C+2ca*cosp*E=0
(2a*cosq)^2*A+b^2*B+2ab*cosq*F=0
a^2*A+(2b*cosq)^2*B+2ab*cosq*F=0
解上述线性方程组得一组非零解:
A=1/a^2，B=1/b^2，C=1/c^2;
D=[4(cost)^2+1]/(2bc*cost),
E=[4(cosp)^2+1]/(2ca*cosp),
F=[4(cosq)^2+1]/(2ab*cosq)。
  
所以上述六个点共圆锥曲线。证毕。
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