数学:函数问题
已知函数f(x)=1/2x^2+lnx. (1)求函数f(x)在[1，e]上的最大，最小值。 (2)求证：在区间[1，+∞)上，函数f(x)的图象在g(x)=2/3x^3图象的下方。 (3)求证：[f'(x)]^n-f'(n)≥2^n-2.(n∈N*)
(1) Max[f(x)] = f(e) = 0。5e^ + 1， e^表示e平方
Min[f(x)] = f(1) = 0。5
(2) 令h(x) = g(x) - f(x) = 2/3x^3 - 1/2x^2 - lnx
求导h'(x) = 2x^2 - x - 1/x，分解因式
h'(x) = 2x^2 - x - 1/x = (x-1)(2x + 1/x + 1)
显然，h'(x)在x=1点有极值，且x>1时，(x-1)>0，(2x + 1/x + 1)>0，
始终有h'(x)>0，且g(1) = 2/3 > 1/2 = f(1)，即g(x)在x>1时恒大于f(x)
(3) 因为f'(x)= x + 1/x，
所以[f'(x)]^n = (x + 1/x)^n
f'(n) = n + 1/n 。
假设题设成立，即 (x+1/x)^n - (n+ 1/n) ≥2^n-2，
用反证法，令 x= 1代入，得到2^n - (n+ 1/n) ≥2^n-2，
左右移项，得到n + 1/n 2时不成立，题设错误，请把问题 抄 写 清楚。
。
答：解： （1）由题意知“ax^2 + 2x + 1＞0 在 x∈R 上恒成立”，故 a＞0 且判别式 △＝4-4a＜0, 解得 a＞1；即 a 的取值范围是 a＞...详情>>
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