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三角函数与不等式问题。

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三角函数与不等式问题。

对于任意实数x和任意角θ∈[0,π/2],不等式
(x+3+sin2θ)^2+(x+asinθ+acosθ)^2≥1/8
恒成立,求a的去值范围。

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  • 2007-06-09 15:33:46
    先讨论这样一个事情(x+m)^2+(x+n)^2的最小值
    (x+m)^2+(x+n)^2=2x^2+(2m+2n)x+m^2+n^2
    当x=-(m+n)/2时,有最小值(a-b)^2/2
    所以左边≥[(3+sin2θ)-(asinθ+acosθ)]^2/2
    要证其大于等于1/8,只须征(3+sin2θ)-(asinθ+acosθ)≥1/2
    设sinθ+cosθ=t,则sin2θ=t^2-1  (t∈[0,√2])
    原式为t^2-at+2≥1/2
    即t^2-at+3/2 ≥0
    设f(t)=t^2-at+3/2
    f(0)≥0
    f(√2)≥0
    f(a/2)≥0    a∈(0,2√2)
    解得a≤√6(计算结果未必正确)

    a***

    2007-06-09 15:33:46

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