关于高二数学椭圆的问题!
已知椭圆x^2/a^+y^2/b^2=1(a>b>0)上任意两点P,Q,O为原点,且OP⊥OQ, 求证:1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2为定值.
我 看 晕 了 。 他 答 的 太 好 了 !
解:分两种情况: 1、当P、Q是坐标轴上的点时,1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2=1/(a)^2+1/(b)^2 2、当P、Q不是坐标轴上的点时,设 直线OP为:y=kx,由于OP⊥OQ,所以直线OQ为:y=1/k*x 将这两条直线带入椭圆方程: x^2/a^+(kx)^2/b^2=1, x^2/a^+(1/k*x)^2/b^2=1 化简: x^2=1/(1/a^2+k^2/b^2), x^2=1/[1/a^2+1/(kb)^2] 则,OP^2=x^2+y^2=(k^2+1)x^2=(k^2+1)/(1/a^2+k^2/b^2) OQ^2=x^2+y^2=(1/k^2+1)x^2=(1/k^2+1)/[1/a^2+1/(kb)^2] 因此,1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2=(1/a^2+k^2/b^2)/(k^2+1) +[1/a^2+1/(kb)^2]/(1/k^2+1) =1/(a)^2+1/(b)^2 由此可见,1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2=1/(a)^2+1/(b)^2 所以,1/︱OP︱^2+1/︱OQ︱^2为定值。
证毕。 。
答:已知椭圆E:x2/a^2+y^2/b^2=1(a,b>0)的焦点坐标为F1(-2,0),点M(-2,根号2)在椭圆上,求椭圆E的方程 椭圆x^2/a^2+y^2...详情>>
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