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2010-02-03 03:50:14

•   已知椭圆c：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=(√3)/2,点p为椭圆c上的任意一点，且点p到椭圆c的两个焦点的距离之和为4，点M的坐标为（1，0） 
  （1）求椭圆方程 
  已知椭圆上的点P到椭圆两个焦点的距离之和为4，所以：2a=4
  则，a=2
  又，已知离心率e=√3/2
  即，e=c/a=√3/2
  所以，c=√3
  所以，b^2=a^2-c^2=4-3=1
  所以，椭圆方程为：x^2/4+y^2=1
  （2）过点P作直线PQ垂直于x轴，交椭圆C于点Q，直线PM交椭圆C于点N。
    试问，当点P在椭圆上运动时，直线QN是否恒经过定点S？若是，请求出点S的坐标，若不是，请说明理由
  设过点P和M(1,0)的直线为y=k(x-1)
  那么，联立直线与椭圆方程有：x^2+4y^2-4=0，y=k(x-1)
  所以，x^2+4[k(x-1)]^2-4=0
  ===> x^2+4k^2(x-1)^2-4=0
  ===> x^2+4k^2x^2-8k^2x+4k^2-4=0
  ===> (4k^2+1)x^2-8k^2x+4(k^2-1)=0
  所以，x1+x2=8k^2/(4k^2+1)、x1x2=4(k^2-1)/(4k^2+1)
  这里的x1、x2即直线与椭圆两个交点P、N的横坐标值
  不妨设点P(x1,y1)、N(x2,y2)
  因为PQ⊥x轴，所以PQ关于x轴对称
  所以，点Q(x1,-y1)
  那么，过点Q、N的直线方程为：(y-y2)/(y2+y1)=(x-x2)/(x2-x1)
  那么，它与x轴的交点，即y=0时候就有：
  -y2/(y1+y2)=(x-x2)/(x2-x1)
  ===> (x1-x2)y2/(y1+y2)=x-x2
  ===> x=[(x1y2-x2y2)/(y1+y2)]+x2
  ===> x=[x1y2-x2y2+x2y1+x2y2]/(y1+y2)
  ===> x=(x1y2+x2y1)/(y1+y2)………………………………（1）
  而，y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)
  所以，x1y2+x2y1=x1*k(x2-1)+x2*k(x1-1)=2kx1x2-k(x1+x2)
  =-8k/(4k^2+1)
  y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-2k/(4k^2+1)
  将其带入(1)式就得到，x=[-8k/(4k^2+1)]/[-2k/(4k^2+1)]=4
  所以，当点P在椭圆上运动时，直线QN恒经过定点S(4,0)。
    

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  T***

  2010-02-03 03:50:14

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